Twierdzenie Kołmogorowa – Arnolda – Mosera

Twierdzenie Kołmogorowa -Arnolda-Mosera ( KAM ) jest wynikiem w układach dynamicznych o utrzymywaniu się ruchów quasi-okresowych w warunkach małych zaburzeń. Twierdzenie to częściowo rozwiązuje problem małych dzielników, który pojawia się w teorii zaburzeń mechaniki klasycznej .

Problem polega na tym, czy małe zaburzenie konserwatywnego układu dynamicznego skutkuje trwałą orbitą quasi-okresową . Pierwotnego przełomu w tym problemie dokonał Andriej Kołmogorow w 1954 r. Zostało to rygorystycznie udowodnione i rozszerzone przez Jürgena Mosera w 1962 r. (Dla gładkich map skrętu) i Władimira Arnolda w 1963 r. (Dla analitycznych systemów hamiltonowskich ), a ogólny wynik jest znany jako twierdzenie KAM.

Arnold początkowo sądził, że to twierdzenie można zastosować do ruchów Układu Słonecznego lub innych przypadków problemu $n$ - ciał , ale okazało się, że działa ono tylko w przypadku problemu trzech ciał z powodu degeneracji w jego sformułowaniu problemu dla większych liczby ciał. Później Gabriella Pinzari pokazała, jak wyeliminować tę degenerację, opracowując niezmienną rotacyjną wersję twierdzenia.

Oświadczenie

Całkowalne układy hamiltonowskie

Twierdzenie KAM jest zwykle wyrażane w postaci trajektorii w przestrzeni fazowej całkowalnego układu hamiltonowskiego . Ruch układu całkowalnego jest ograniczony do niezmiennego torusa ( powierzchnia w kształcie pączka ). Różne warunki początkowe całkowalnego układu hamiltonowskiego będą wyznaczać różne niezmienne torusy w przestrzeni fazowej. Wykreślenie współrzędnych układu całkowalnego pokazałoby, że są one quasi-okresowe.

Perturbacje

Twierdzenie KAM mówi, że jeśli system jest poddany słabemu nieliniowemu zaburzeniu, niektóre niezmienne torusy są zdeformowane i przetrwają, tj. istnieje mapa od pierwotnej rozmaitości do rozmaitości zdeformowanej, która jest ciągła w zaburzeniu. I odwrotnie, inne niezmienne tori są niszczone: nawet dowolnie małe perturbacje powodują, że rozmaitość nie jest już niezmienna i nie istnieje taka mapa pobliskich rozmaitości. Ocalałe torusy spełniają warunek braku rezonansu, czyli mają „wystarczająco irracjonalne” częstotliwości. Oznacza to, że ruch zdeformowanego torusa jest nadal quasi-okresowy , ze zmienionymi okresami niezależnymi (w wyniku warunku braku degeneracji). Twierdzenie KAM określa ilościowo poziom perturbacji, który można zastosować, aby to było prawdziwe.

Te tori KAM, które są niszczone przez perturbację, stają się niezmiennymi zbiorami Cantora , nazwanymi Cantori przez Iana C. Percivala w 1979 roku.

Warunki braku rezonansu i braku degeneracji twierdzenia KAM stają się coraz trudniejsze do spełnienia dla układów o większej liczbie stopni swobody. Wraz ze wzrostem liczby wymiarów układu zmniejsza się objętość zajmowana przez torus.

Wraz ze wzrostem perturbacji i rozpadem gładkich krzywych przechodzimy od teorii KAM do teorii Aubry'ego-Mathera, która wymaga mniej rygorystycznych hipotez i działa na zbiorach podobnych do Cantora.

Istnienie twierdzenia KAM dla perturbacji kwantowych systemów całkowalnych z wieloma ciałami jest nadal kwestią otwartą, chociaż uważa się, że dowolnie małe perturbacje zniszczą całkowalność w nieskończonej granicy wielkości.

Konsekwencje

Ważną konsekwencją twierdzenia KAM jest to, że dla dużego zbioru warunków początkowych ruch pozostaje wiecznie quasi-okresowy. ^{[ który? ]}

Teoria KAM

Metody wprowadzone przez Kołmogorowa, Arnolda i Mosera rozwinęły się w duży zbiór wyników związanych z ruchami quasi-okresowymi, znanymi obecnie jako teoria KAM . Warto zauważyć, że został rozszerzony na systemy niehamiltonowskie (począwszy od Mosera), na sytuacje nieperturbacyjne (jak w pracy Michaela Hermana ) oraz na systemy o szybkich i wolnych częstotliwościach (jak w pracy Michaiła B. Sevryuka) .

torus KAM

Rozmaitość ${\ Displaystyle \ phi ^ {t}}$ przepływu nazywana jest niezmiennikiem $niezmiennikiem$ ${\ Displaystyle d}$ -torus $varphi}}: {\ mathcal {T}} ^ {d} \ rightarrow \ mathbb {T} ^ {d}}$ Displaystyle {\ boldsymbol { \ standardowy ${\ displaystyle d}$ -torus ${\ Displaystyle \ mathbb {T} ^ {d}: = \ underbrace {\ mathbb {S} ^ {1} \ razy \ mathbb {S} ^ {1} \ razy \ cdots \times \ mathbb {S} ^{1}} _ {d}}$ taki, że wynikowy ruch na ${\ Displaystyle \ mathbb {T} ^ {d}}$ jest jednostajnie liniowy, ale nie statyczny, tj. ${\ Displaystyle \ operatorname {d} {\ boldsymbol {\ varphi}} / \ operatorname {d} t = {\ boldsymbol {\ omega}}},$ gdzie ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$ to niezerowy wektor stały, zwany wektorem częstotliwości .

Jeśli wektor częstotliwości to: ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$

racjonalnie niezależne ( aka niewspółmierne, to znaczy ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {k}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ neq 0}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle {\ Displaystyle {\ boldsymbol {k}}\in \mathbb {Z} ^{d}\backslash \left\{{\boldsymbol {0}}\right\}}$ )
i „źle” przybliżone przez wymierne, zazwyczaj w sensie diofantycznym : ${\ Displaystyle \ istnieje ~ \ gamma, \ tau > 0 {\ tekst {tak, że}} | {\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot {\ boldsymbol {k}} | \ geq {\ frac {\ gamma}} \|{\boldsymbol {k}}\|^{\tau }}},\forall ~{\boldsymbol {k}}\in \mathbb {Z} ^{d}\backslash \left\{{\boldsymbol { 0}}\prawo\}}$ ,