Dyfuzja Arnolda

W matematyce stosowanej dyfuzja Arnolda jest zjawiskiem niestabilności całkowalnych układów hamiltonowskich . Zjawisko to zostało nazwane na cześć Vladimira Arnolda , który jako pierwszy opublikował wynik w tej dziedzinie w 1964 r. Dokładniej, dyfuzja Arnolda odnosi się do wyników potwierdzających istnienie rozwiązań prawie całkowalnych układów hamiltonowskich, które wykazują znaczącą zmianę zmiennych działania.

Dyfuzja Arnolda opisuje dyfuzję trajektorii wynikającą z twierdzenia ergodycznego w części przestrzeni fazowej nieskrępowanej żadnymi ograniczeniami ( tj. nieograniczonej torusem Lagrange'a wynikającym ze stałych ruchu ) w układach hamiltonowskich . Występuje w układach o więcej niż N = 2 stopniach swobody, ponieważ N -wymiarowe niezmienne torusy nie oddzielają już 2 N -1 wymiarowej przestrzeni fazowej. Zatem dowolnie małe zaburzenie może spowodować, że pewna liczba trajektorii błąka się pseudolosowo przez całą część przestrzeni fazowej pozostawionej przez zniszczony torus.

Tło i oświadczenie

W przypadku systemów całkowalnych obowiązuje zasada zachowania zmiennych działania . Zgodnie z twierdzeniem KAM, jeśli lekko zaburzymy układ całkowalny, to wiele, choć na pewno nie wszystkie, rozwiązań układu zaburzonego pozostaje przez cały czas blisko układu niezakłóconego. W szczególności, ponieważ zmienne działania były pierwotnie zachowane, twierdzenie mówi nam, że istnieje tylko niewielka zmiana działania dla wielu rozwiązań zaburzonego systemu.

Jednak, jak po raz pierwszy zauważono w artykule Arnolda, istnieją systemy prawie całkowalne, dla których istnieją rozwiązania, które wykazują dowolnie duży wzrost zmiennych działania. Mówiąc dokładniej, Arnold rozważał przykład prawie całkowalnego systemu hamiltonowskiego z hamiltonianem

H(I,\phi ,p,q,t)={1 \over 2}I^{2}+{1 \over 2}p^{2}+\epsilon (\cos {q}-1 )+\mu (\cos {q}-1)(\sin {\phi +\cos t)}

Pierwsze trzy wyrazy tego hamiltonianu opisują układ rotator-wahadło. Arnold $1$ wyboru i dla $\epsilon \ll 1}$ $0 <\ mu$ , istnieje rozwiązanie dla systemu, dla którego

\ Displaystyle I (0) <ja_ {-} {\ tekst {i}} ja (T)> ja_ {+}}

przez pewien czas ${\ Displaystyle T \ gg 0.}$

Jego dowód opiera się na istnieniu „łańcuchów przejściowych” „wąsatych” torusów, to znaczy sekwencji torusów z dynamiką przechodnią, tak że niestabilna rozmaitość ( wąsy ) jednego z tych torusów przecina poprzecznie stabilną rozmaitość (wąsy) następnego jeden. Arnold przypuszczał, że „mechanizm„ łańcuchów przejściowych ”, który gwarantuje, że niestabilność w naszym przykładzie ma również zastosowanie do ogólnego przypadku (na przykład do problemu trzech ciał)”.

Tło twierdzenia KAM można znaleźć w, a kompendium rygorystycznych wyników matematycznych, z wglądem w fizykę, można znaleźć w.

Sprawa ogólna

W modelu Arnolda pojęcie perturbacji jest szczególnego typu. Ogólny przypadek problemu dyfuzji Arnolda dotyczy układów hamiltonowskich jednej z postaci

{\ Displaystyle H _ {\ epsilon} (ja, \ fi, p ,q)=H_{0}(I,p,q)+\epsilon H_{1}(I,\phi ,p,q,t)}

gdzie ${\ Displaystyle (ja, \ phi, p, q, t) \ w \ mathbb {R} ^ {m}\times \mathbb {T} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {T} ^{n}\times \mathbb {T} ^{1}}$ , ${\ Displaystyle m, n \ geq 1}$ i ${\ Displaystyle H_ {0} (I, p, q)}$ system rotator-wahadło lub

{\ Displaystyle H _ {\ epsilon} (ja, \ phi) = H_ {0} (ja) + \ epsilon H_ { 1}(I,\phi,t)}

gdzie ${\ Displaystyle (ja, \ phi, t) \ w \ mathbb {R} ^ {N} \ razy \ mathbb {T} ^ {N} \ razy \ mathbb {T} ^ {1}}$ , ${\ Displaystyle N \ geq 2.}$

Dla systemów takich jak w (1) niezakłócony hamiltonian posiada gładkie rodziny niezmiennych torusów, które mają hiperboliczne stabilne i niestabilne rozmaitości; takie systemy są określane jako a priori niestabilne . Dla układu jak w (2) przestrzeń fazowa niezaburzonego hamiltonianu jest foliowana niezmiennym tori Lagrange'a ; takie systemy są określane jako stabilne a priori . W obu przypadkach problem dyfuzji Arnolda stwierdza, że w przypadku systemów „ogólnych” istnieje takie, że dla każdego wystarczająco ${\ displaystyle \$ krzywe rozwiązania dla $rho > 0}$ Który

{\ Displaystyle \| I (T) -I (0) \|\ geq \ rho}

przez pewien czas $.$ w kontekście systemu a priori niestabilnego i stabilnego a Nieformalnie problem dyfuzji Arnolda mówi, że małe zaburzenia mogą się kumulować, dając duże efekty.

Ostatnie wyniki w przypadku niestabilnym a priori obejmują iw przypadku stabilnym a priori.

W kontekście ograniczonego problemu trzech ciał , dyfuzję Arnolda można interpretować w tym sensie, że dla wszystkich dostatecznie małych, niezerowych wartości mimośrodowości orbit eliptycznych masywnych ciał istnieją rozwiązania, wzdłuż których energia pomijalna masa zmienia się o wielkość niezależną od ekscentryczności.

Zobacz też