Współrzędne kąta działania

W mechanice klasycznej współrzędne kąta działania to zbiór współrzędnych kanonicznych przydatnych w rozwiązywaniu wielu układów całkowalnych . Metoda kątów działania jest przydatna do wyznaczania częstotliwości ruchu oscylacyjnego lub obrotowego bez rozwiązywania równań ruchu . Współrzędne kąta działania są używane głównie wtedy, gdy równania Hamiltona-Jacobiego są całkowicie rozdzielne. (Stąd hamiltonian nie zależy wyraźnie od czasu, tj. energia jest zachowana ). Zmienne kąta działania definiują niezmienny torus , zwany tak, ponieważ utrzymywanie stałej działania definiuje powierzchnię torusa , podczas gdy zmienne kątowe parametryzują współrzędne na torusie.

Bohra -Sommerfelda , używane do rozwoju mechaniki kwantowej przed pojawieniem się mechaniki falowej , stwierdzają, że działanie musi być całkowitą wielokrotnością stałej Plancka ; podobnie wgląd Einsteina w kwantyzację EBK i trudność kwantyzacji systemów niecałkowalnych została wyrażona w kategoriach niezmiennego torusa współrzędnych kąta działania.

Współrzędne kąta działania są również przydatne w teorii zaburzeń mechaniki hamiltonowskiej , zwłaszcza w określaniu niezmienników adiabatycznych . Jednym z najwcześniejszych wyników teorii chaosu dla nieliniowych perturbacji układów dynamicznych o małej liczbie stopni swobody jest twierdzenie KAM , które stwierdza, że niezmienne torusy są stabilne przy małych perturbacjach.

Wykorzystanie zmiennych kąta działania było kluczowe dla rozwiązania sieci Toda i definicji par Laxa lub, bardziej ogólnie, idei izospektralnej ewolucji systemu.

Pochodzenie

$,$ z kanonicznej transformacji typu 2 $)$ której funkcją generującą jest funkcja ( a nie główna funkcja Hamiltona $Ponieważ oryginalny hamiltonian nie$ $zależy wyraźnie$ $\ Displaystyle H (\ mathbf {q}, \ mathbf {p})}$ , nowy hamiltonian prostu starym wyrażone w kategoriach nowych współrzędnych kanonicznych , które oznaczamy jako $w {\ Displaystyle \ mathbf {w}}$ kąty działania , które są uogólnionymi współrzędnymi ) i ich nowy $uogólniony$ . Nie będziemy musieli tutaj rozwiązywać $samej funkcji$ ; zamiast tego użyjemy go jedynie jako narzędzia do powiązania nowych i starych współrzędnych kanonicznych .

Zamiast bezpośrednio definiować kąty działania, zamiast tego definiujemy ich uogólniony pęd, który przypomina klasyczne działanie dla każdej oryginalnej uogólnionej współrzędnej ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$

{\ Displaystyle J_ {k} \ równoważnik \ punkt p_ {k} \, \ operatorname {d} q_ {k}}

gdzie ścieżka integracji jest domyślnie określona przez funkcję stałej energii ${\ Displaystyle E = E (q_ {k}, p_ {k})}$ . Ponieważ rzeczywisty ruch nie jest zaangażowany w tę integrację, te uogólnione pędy $są$ stałymi ruchu, co sugeruje, że przekształcony hamiltonian $uogólnionych$ sprzężonych współrzędnych ${\ displaystyle w_ {k}}$

{\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}}} {\ operatorname {d} t}} J_ {k} = 0 = {\ Frac {\ częściowe K

gdzie są $transformacji$ przez typowe równanie dla typu 2

{\ Displaystyle w_ {k} \ równoważnik {\ Frac {\ częściowe W} {\ częściowe J_ {k}}}}

$.$ nowy $_$ nowego _

Dynamikę kątów działania określają równania Hamiltona

{\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}}} {\ operatorname {d} t}} w_ {k} = {\ Frac {\ częściowe K}{\częściowy J_{k}}}\równoważnik \nu _{k}(\mathbf {J} )}

Prawa strona jest stałą ruchu (ponieważ wszystkie $)$ . Stąd rozwiązanie jest podane przez

{\ Displaystyle w_ {k} = \ nu _ {k} (\ mathbf {J}) t + \ beta _ {k}}

gdzie ${\ displaystyle \ beta _ {k}}$ jest stałą całkowania. W szczególności ${\ styl wyświetlania \Delta w_{k}=\nu _{k}(\mathbf {J} )T}$ jeśli oryginalna $uogólniona$ współrzędna $podlega$ oscylacji lub obrocie okresu odpowiedni kąt działania się o .

Te są częstotliwościami oscylacji / obrotu dla oryginalnych uogólnionych współrzędnych $) {\ Displaystyle \ nu _ {k} (\ mathbf$ $}$ } Aby to pokazać, scałkujemy zmianę netto kąta działania $uogólnionych$ dokładnie jednej pełnej wariacji (tj. Oscylacji lub obrocie) jego współrzędnych $\ displaystyle q_ {k}}$

{\ Displaystyle \ Delta w_ {k} \ równoważnik \ punkt {\ Frac {\ częściowe w_ {k}} {\ częściowe q_ {k}}} \, \ operatorname { d} q_{k}=\oint {\frac {\częściowy ^{2}W}{\częściowy J_{k}\,\częściowy q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}= {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} J_ {k}}} \ oint {\ frac {\ częściowe W} {\ częściowe q_ {k}}} \, \ operatorname {d} q_ { k}={\frac {\mathrm {d}}}{\mathrm {d} J_{k}}}\oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm { d} J_{k}}{\mathrm {d} J_{k}}}=1}

Ustawiając dwa wyrażenia na równe, otrzymujemy pożądane równanie ${\ Displaystyle \ Delta w_ {k}}$

{\ Displaystyle \ nu _ {k} (\ mathbf {J}) = {\ Frac {1} {T}}}

Kąty działania $współrzędnych$ niezależnym zbiorem uogólnionych . Zatem w ogólnym przypadku każdą pierwotną uogólnioną współrzędną można wyrazić jako szereg Fouriera we wszystkich kątach działania ${\ displaystyle q_ {k}}$

{\ Displaystyle q_ {k} = \ suma _ {s_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty} \ suma _ {s_ {2} = - \ infty }^{\infty }\cdots \sum _{s_{N}=-\infty }^{\infty }A_{s_{1},s_{2},\ldots,s_{N}}^{k} e^{i2\pi s_{1}w_{1}}e^{i2\pi s_{2}w_{2}}\cdots e^{i2\pi s_{N}w_{N}}}

gdzie jest współczynnikiem szeregu Fouriera ${\ Displaystyle A_ {s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {N}} ^ {k}}$ Jednak w większości praktycznych przypadków oryginalna uogólniona współrzędna $szereg$ możliwa do wyrażenia jako Fouriera tylko w jej własnych kątach działania $k}}$

{\ Displaystyle q_ {k} = \ suma _ {s_ {k} = - \ infty} ^ {\ infty} A_ { s_{k}}^{k}e^{i2\pi s_{k}w_{k}}}

Podsumowanie protokołu podstawowego

Ogólna procedura składa się z trzech kroków:

Oblicz nowy uogólniony pęd jot $\ displaystyle J_ {k}}$
Wyraź oryginalny hamiltonian całkowicie za pomocą tych zmiennych.
Weź pochodne hamiltonianu względem tych pędów, aby uzyskać częstotliwości . ${\ displaystyle \ nu _ {k}}$

Degeneracja

W niektórych przypadkach częstotliwości dwóch różnych uogólnionych współrzędnych są identyczne, tj. ${\ Displaystyle \ nu _ {k} = \ nu _ {l}}$ dla ${\ Displaystyle k \ neq l}$ . W takich przypadkach ruch nazywamy zdegenerowanym .

Zdegenerowany ruch sygnalizuje, że istnieją dodatkowe ogólnie zachowane wielkości; na przykład częstotliwości problemu Keplera są zdegenerowane, co odpowiada zachowaniu wektora Laplace'a – Runge – Lenza .

Ruch zdegenerowany sygnalizuje również, że równania Hamiltona-Jacobiego są całkowicie rozdzielne w więcej niż jednym układzie współrzędnych; na przykład problem Keplera jest całkowicie rozdzielny zarówno we współrzędnych sferycznych , jak i parabolicznych .

Zobacz też

LD Landau i EM Lifshitz, (1976) Mechanika , 3. wyd., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (oprawa twarda) i ISBN 0-08-029141-4 (oprawa miękka).
H. Goldstein, (1980) Mechanika klasyczna , wyd. wyd., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
G. Sardanashvily , (2015) Handbook of Integrable Hamiltonian Systems , URSS. ISBN 978-5-396-00687-4
Previato, Emma (2003), Słownik matematyki stosowanej dla inżynierów i naukowców , CRC Press , Bibcode : 2003dame.book.....P , ISBN 978-1-58488-053-0