Niezmiennik adiabatyczny

Właściwość układu fizycznego , taka jak entropia gazu, która pozostaje w przybliżeniu stała, gdy zmiany zachodzą powoli, nazywana jest niezmiennikiem adiabatycznym . Rozumie się przez to, że jeśli system zmienia się między dwoma punktami końcowymi, gdy czas zmiany między punktami końcowymi zwiększa się do nieskończoności, zmiana niezmiennika adiabatycznego między dwoma punktami końcowymi dąży do zera.

W termodynamice proces adiabatyczny to zmiana zachodząca bez przepływu ciepła; może być wolny lub szybki. Odwracalny proces adiabatyczny to proces adiabatyczny, który zachodzi powoli w porównaniu do czasu osiągnięcia równowagi. W odwracalnym procesie adiabatycznym układ jest w równowadze na wszystkich etapach, a entropia jest stała. W pierwszej połowie XX wieku naukowcy zajmujący się fizyką kwantową używali terminu „adiabatyczny” dla odwracalnych procesów adiabatycznych, a później dla wszelkich stopniowo zmieniających się warunków, które pozwalają układowi dostosować swoją konfigurację. Definicja mechaniki kwantowej jest bliższa termodynamicznej koncepcji procesu kwazistatycznego i nie ma bezpośredniego związku z procesami adiabatycznymi w termodynamice.

W mechanice zmiana adiabatyczna to powolna deformacja hamiltonianu , w której ułamkowa szybkość zmiany energii jest znacznie mniejsza niż częstotliwość orbitalna. Obszar ograniczony przez różne ruchy w przestrzeni fazowej to niezmienniki adiabatyczne .

W mechanice kwantowej zmiana adiabatyczna to taka, która zachodzi w tempie znacznie wolniejszym niż różnica częstotliwości między stanami własnymi energii. W tym przypadku stany energetyczne układu nie dokonują przejść, więc liczba kwantowa jest niezmiennikiem adiabatycznym.

Stara teoria kwantowa została sformułowana przez zrównanie liczby kwantowej układu z jego klasycznym niezmiennikiem adiabatycznym. To zdeterminowało postać kwantyzacji Bohra-Sommerfelda : liczba kwantowa to obszar w przestrzeni fazowej orbity klasycznej.

Termodynamika

W termodynamice zmiany adiabatyczne to takie, które nie zwiększają entropii. Występują powoli w porównaniu z innymi charakterystycznymi skalami czasowymi badanego układu i umożliwiają przepływ ciepła tylko między obiektami o tej samej temperaturze. W przypadku systemów izolowanych zmiana adiabatyczna nie pozwala na przepływ ciepła ani na zewnątrz.

Rozprężanie adiabatyczne gazu doskonałego

Jeśli pojemnik z gazem doskonałym zostanie natychmiast rozszerzony, temperatura gazu w ogóle się nie zmieni, ponieważ żadna z cząsteczek nie zwalnia. Cząsteczki zachowują swoją energię kinetyczną, ale teraz gaz zajmuje większą objętość. Jeśli jednak pojemnik rozszerza się powoli, tak że w dowolnym momencie obowiązuje zasada ciśnienia gazu doskonałego, cząsteczki gazu tracą energię w tempie, w jakim wykonują pracę na rozszerzającej się ścianie. Ilość pracy, którą wykonują, to ciśnienie razy powierzchnia ściany razy przemieszczenie na zewnątrz, czyli ciśnienie razy zmiana objętości gazu:

$${\ Displaystyle dW = P \, dV = {Nk _ {\ tekst {B}} T \ ponad V} dV}$$

Jeśli do gazu nie dostanie się żadne ciepło, energia w cząsteczkach gazu maleje o tę samą wartość. Z definicji gaz jest idealny, gdy jego temperatura jest funkcją energii wewnętrznej przypadającej na cząsteczkę, a nie objętości. Więc

$${\ Displaystyle dT = {1 \ ponad NC_ {v}} dE}$$

Gdzie $.$ właściwe przy stałej objętości Kiedy zmiana energii jest całkowicie spowodowana pracą wykonaną na ścianie, zmiana temperatury jest wyrażona wzorem:

$${\ Displaystyle NC_ {v} \ dT = -dW = - {Nk_ {\ tekst {B}} T \ ponad V} dV}$$

Daje to zależność różniczkową między zmianami temperatury i objętości, którą można zintegrować, aby znaleźć niezmiennik. Stała to po prostu współczynnik konwersji jednostek , który można ustawić jako równy jeden: ${\ displaystyle k_ {B}}$

$${\ Displaystyle d (C_ {v} N \ log T) = - d (N \ log V)}$$

Więc

$${\ Displaystyle C_ {v} N \ log T + N \ log V}$$

jest niezmiennikiem adiabatycznym, który jest powiązany z entropią

$${\ Displaystyle S = C_ {v} N \ log T + N \ log VN \ log N =N\log \left({\frac {T^{C_{v}}V}{N}}\right)}$$

Zatem entropia jest niezmiennikiem adiabatycznym. Wyrażenie N log( N ) czyni entropię addytywną, więc entropia dwóch objętości gazu jest sumą entropii każdej z nich .

W interpretacji molekularnej S jest logarytmem objętości przestrzeni fazowej wszystkich stanów gazowych o energii E ( T ) i objętości V .

W przypadku jednoatomowego gazu doskonałego można to łatwo zobaczyć, zapisując energię,

$${\ Displaystyle E = {1 \ ponad 2 m} \ suma _ {k} p_ {k1} ^ {2} + p_ {k2 }^{2}+p_{k3}^{2}}$$

Różne wewnętrzne ruchy gazu o całkowitej energii E definiują kulę, powierzchnię 3 N -wymiarowej kuli o promieniu ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {2mE}}}$ . Objętość kuli wynosi

$${\ Displaystyle {2 \ pi ^ {3N/2} (2mE) ^ {{3N-1} \ ponad 2 }} \ponad {\Gamma (3N/2)},}$$

gdzie jest funkcją $Gamma$ _

Ponieważ każda cząsteczka gazu może znajdować się w dowolnym miejscu w objętości V , objętość w przestrzeni fazowej zajmowanej przez stany gazowe o energii E wynosi

$${\ Displaystyle {2 \ pi ^ {3N/2} (2mE) ^ {{3N-1} \ ponad 2}} V ^ {N} \ ponad {\ Gamma (3N/2)}.}$$

Ponieważ cząsteczki gazu N są nie do odróżnienia, objętość przestrzeni fazowej jest dzielona przez ${\ Displaystyle N! = \ Gamma (N + 1)}$ , liczba permutacji N cząsteczek.

Używając przybliżenia Stirlinga dla funkcji gamma i ignorując czynniki, które znikają w logarytmie po przyjęciu N dużego,

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} S & = N \ lewo ({\ tfrac {3} {2}} \ log (E) - {\ tfrac {3} {2}} \ log ( {\tfrac {3}{2}}N)+\log(V)-\log(N)\right)\\&=N\left({\tfrac {3}{2}}\log({\ scriptstyle {\frac {2}{3}}}E/N)+\log \left({\frac {V}{N}}\right)\right)\end{wyrównane}}}$$

Ponieważ ciepło właściwe jednoatomowego gazu wynosi 3/2, jest to to samo, co wzór termodynamiczny na entropię.

Prawo Wiena – adiabatyczne rozszerzanie się pudła światła

W przypadku pudełka promieniowania, pomijając mechanikę kwantową, energia pola klasycznego w równowadze termicznej jest nieskończona , ponieważ ekwipartycja wymaga, aby każdy mod pola miał średnio równą energię i istnieje nieskończenie wiele modów. Jest to fizycznie niedorzeczne, ponieważ oznacza, że ​​cała energia z czasem przechodzi w fale elektromagnetyczne o wysokiej częstotliwości.

Jednak bez mechaniki kwantowej jest kilka rzeczy, które można powiedzieć o rozkładzie równowagi na podstawie samej termodynamiki, ponieważ nadal istnieje pojęcie niezmienności adiabatycznej, które odnosi się do pudełek o różnych rozmiarach.

Kiedy pudełko jest powoli rozszerzane, częstotliwość światła odbijającego się od ściany można obliczyć z przesunięcia Dopplera . Jeśli ściana się nie porusza, światło odbija się z tą samą częstotliwością. Jeśli ściana porusza się powoli, częstotliwość odrzutu jest równa tylko w ramie, w której ściana jest nieruchoma. W kadrze, w którym ściana oddala się od światła, wpadające światło jest bardziej niebieskie niż światło wychodzące o dwukrotność współczynnika przesunięcia Dopplera v / c .

$${\ Displaystyle \ Delta f = {2v \ ponad c} f}$$

Z drugiej strony energia światła również maleje, gdy ściana się oddala, ponieważ światło wykonuje pracę na ścianie poprzez ciśnienie promieniowania. Ponieważ światło jest odbijane, ciśnienie jest równe dwukrotności pędu przenoszonego przez światło, czyli E / c . Szybkość, z jaką ciśnienie działa na ścianę, można znaleźć, mnożąc przez prędkość:

$${\ Displaystyle \ Delta E = v {2E \ nad c}}$$

Oznacza to, że zmiana częstotliwości światła jest równa pracy wykonanej na ścianie przez ciśnienie promieniowania. Odbite światło zmienia zarówno częstotliwość, jak i energię o tę samą wartość:

$${\ Displaystyle {\ Delta f \ nad f} = {\ Delta E \ nad E}}$$

Ponieważ powolne przesuwanie ściany powinno utrzymywać stałą dystrybucję ciepła, prawdopodobieństwo, że światło ma energię E przy częstotliwości f , musi być tylko funkcją E / f .

Tej funkcji nie można określić na podstawie samego rozumowania termodynamicznego, a Wien odgadł formę, która była ważna przy wysokich częstotliwościach. Przypuszczał, że średnia energia w modach o wysokiej częstotliwości była tłumiona przez czynnik podobny do Boltzmanna. $ekwipartycji$ klasyczna energia w trybie, która jest , ale nowe i nieuzasadnione założenie, które pasuje do danych o wysokiej częstotliwości

$${\ Displaystyle \ langle E_ {f} \ rangle = e ^ {- \ beta hf}}$$

Kiedy wartość oczekiwana jest dodawana do wszystkich modów we wnęce, jest to rozkład Wiena i opisuje termodynamiczny rozkład energii w klasycznym gazie fotonów. Prawo Wiena domyślnie zakłada, że ​​światło składa się statystycznie z pakietów, które zmieniają energię i częstotliwość w ten sam sposób. Entropia gazu Wiena skaluje się jako objętość do potęgi N , gdzie N to liczba pakietów. To skłoniło Einsteina do zasugerowania, że ​​światło składa się z możliwych do zlokalizowania cząstek o energii proporcjonalnej do częstotliwości. Następnie entropię gazu Wiena można interpretować statystycznie jako liczbę możliwych pozycji, w których fotony mogą się znajdować.

Mechanika klasyczna – zmienne działania

Wahadło z bardzo małymi wibracjami gdzie ${\ Displaystyle \ omega (t) = {\ sqrt {g \ ponad L (t)}} \ około {\ sqrt {g \ ponad L_ {0}}}}$ i ${\ Displaystyle L (t) \ około L_ {0} + \ varepsilon (t) + \ cdots}$

Załóżmy, że hamiltonian powoli zmienia się w czasie, na przykład jednowymiarowy oscylator harmoniczny ze zmieniającą się częstotliwością.

$${\ Displaystyle H_ {t} (p, x) = {p ^ {2} \ ponad 2 m} + {m \ omega (t)^{2}x^{2} \ponad 2}}$$

Działanie J orbity klasycznej to obszar ograniczony przez orbitę w przestrzeni fazowej .

$${\ Displaystyle J = \ int _ {0} ^ {T} p (t) {dx \ ponad dt} dt}$$

Ponieważ J jest całką po pełnym okresie, jest tylko funkcją energii. Kiedy hamiltonian jest stały w czasie, a $sprzężona$ jest stały w czasie, kanonicznie zmienna rośnie w czasie ze stałą szybkością.

$${\ Displaystyle {d \ teta \ nad dt} = {\ częściowy H \ nad \ częściowy J} = H '(J)}$$

$do zmiany pochodnych$ stałej $można użyć$ czasu wzdłuż orbity na pochodne cząstkowe stałej . Różniczkowanie całki dla J względem J daje tożsamość, która ustala: ${\ displaystyle H'}$ :

$${\ Displaystyle {dJ \ ponad dJ} = 1 = \ int _ {0} ^ {T} \ lewo ({\ częściowe p \ ponad \ częściowe J} {dx \ ponad dt} + p { \partial \over \partial J}{dx \over dt}\right)dt=H\,'\int _{0}^{T}\left({\partial p \over \partial J}{\partial x \over \częściowe \theta }-{\częściowe p \ponad \częściowe \theta }{\częściowe x \ponad \częściowe J}\right)dt}$$

Integrand jest nawiasem Poissona x i p . Nawias Poissona dwóch kanonicznie sprzężonych wielkości, takich jak x i p , jest równy 1 w dowolnym kanonicznym układzie współrzędnych. Więc

$${\ Displaystyle 1 = H '\ int _ {0} ^ {T} \ {x, p \} \, dt = H' \, T }$$

i $okresem$ . Zmienna $wartość w każdym okresie dla$ wartości J - jest to zmienna kątowa.

Niezmienność adiabatyczna J

Hamiltonian jest funkcją tylko J iw prostym przypadku oscylatora harmonicznego.

$${\ Displaystyle H = \ omega J}$$

Gdy H nie ma zależności od czasu, J jest stałe. Kiedy H zmienia się powoli w czasie, szybkość zmian J można obliczyć, ponownie wyrażając całkę dla J

$${\ Displaystyle J = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} p {\ częściowe x \ ponad \ częściowe \ teta} d \ teta}$$

Pochodna czasu tej wielkości wynosi

$${\ Displaystyle {dJ \ ponad dt} = \ int _ {0} ^ {2 \ pi }\left({dp \over dt}{\partial x \over \partial \theta }+p{d \over dt}{\partial x \over \partial \theta }\right)d\theta }$$

Zastępowanie pochodnych czasu pochodnymi theta, używając i ustawiając bez utraty ogólności ( ${\ Displaystyle d \ theta = \ omega \, dt}$$\ Displaystyle \ omega: = 1$$} displaystyle \omega }$ jest globalną stałą multiplikatywną w wynikowej pochodnej czasowej działania), plony

$${\ Displaystyle {dJ \ nad dt} = \ int _ {0} ^ {2 \ pi }\left({\częściowe p \over \partial \theta}{\częściowe x \ponad \częściowe \theta }+p{\częściowe \ponad \częściowe \theta }{\częściowe x \ponad \częściowe \theta }\ prawo)d\theta}$$

Tak długo, jak współrzędne nie zmieniają się znacząco w ciągu jednego okresu, wyrażenie to można scałkować przez części, dając $zero$ Oznacza to, że dla powolnych zmian nie ma najmniejszej zmiany rzędu w obszarze zamkniętym przez orbitę. To jest twierdzenie o niezmienniczości adiabatycznej - zmienne akcji są niezmiennikami adiabatycznymi.

W przypadku oscylatora harmonicznego obszar w przestrzeni fazowej orbity o energii E jest obszarem elipsy o stałej energii,

$${\ Displaystyle E = {p ^ {2} \ ponad 2 m} + {m \ omega ^ {2} x ^ {2} \ ponad 2}}$$

Promień x tej elipsy wynosi ${\ textstyle {\ sqrt {2E/\ omega ^ {2} m}}}$ ​​, podczas gdy p - promień elipsy wynosi ${\ textstyle { \sqrt {2mE}}}$ . Mnożąc obszar wynosi ${\ Displaystyle 2 \ pi E / \ omega}$ . Więc jeśli wahadło jest powoli wciągane, tak że zmienia się częstotliwość, energia zmienia się proporcjonalnie.

Stara teoria kwantowa

Po tym, jak Planck stwierdził, że prawo Wiena można rozszerzyć na wszystkie częstotliwości, nawet bardzo niskie, poprzez interpolację z klasycznym prawem ekwipartycji promieniowania, fizycy chcieli zrozumieć kwantowe zachowanie innych układów.

Prawo promieniowania Plancka skwantowało ruch oscylatorów polowych w jednostkach energii proporcjonalnych do częstotliwości:

$${\ Displaystyle E = hf = \ hbar \ omega}$$

Kwant może zależeć tylko od energii/częstotliwości na podstawie niezmienności adiabatycznej, a ponieważ energia musi być addytywna przy układaniu pudełek od końca do końca, poziomy muszą być równomiernie rozmieszczone.

Einstein, a następnie Debye, rozszerzyli dziedzinę mechaniki kwantowej, rozważając tryby dźwięku w ciele stałym jako skwantowane oscylatory . Model $jak$ wyjaśnił, dlaczego ciepło właściwe ciał stałych zbliża się do zera w niskich temperaturach, zamiast pozostać na stałym poziomie klasyczny ekwipartycja .

Na konferencji Solvaya podniesiono kwestię kwantyzacji innych ruchów, a Lorentz zwrócił uwagę na problem znany jako wahadło Rayleigha-Lorentza . Jeśli weźmiemy pod uwagę wahadło kwantowe, którego struna skraca się bardzo powoli, liczba kwantowa wahadła nie może się zmienić, ponieważ w żadnym punkcie nie ma wystarczająco wysokiej częstotliwości, aby spowodować przejście między stanami. Ale częstotliwość wahadła zmienia się, gdy struna jest krótsza, więc stany kwantowe zmieniają energię.

Einstein odpowiedział, że przy powolnym pociągnięciu częstotliwość i energia wahadła zmieniają się, ale stosunek pozostaje stały. Jest to analogiczne do obserwacji Wiena, że ​​przy powolnym ruchu ściany stosunek energii do częstotliwości fal odbitych jest stały. Wniosek był taki, że wielkości do kwantyzacji muszą być niezmiennikami adiabatycznymi.

Ta linia argumentacji została rozszerzona przez Sommerfelda do ogólnej teorii: liczba kwantowa dowolnego układu mechanicznego jest określona przez zmienną działania adiabatycznego. Ponieważ zmienna akcji w oscylatorze harmonicznym jest liczbą całkowitą, ogólny warunek jest następujący:

$${\ Displaystyle \ int p \, dq = nh}$$

Ten warunek był podstawą starej teorii kwantowej , która była w stanie przewidzieć jakościowe zachowanie układów atomowych. Teoria jest niedokładna w przypadku małych liczb kwantowych, ponieważ łączy koncepcje klasyczne i kwantowe. Był to jednak użyteczny półkrok do nowej teorii kwantowej .

Fizyka plazmy

W fizyce plazmy istnieją trzy adiabatyczne niezmienniki ruchu cząstek naładowanych.

Pierwszy niezmiennik adiabatyczny, μ

Moment magnetyczny wirującej cząstki wynosi

$${\ Displaystyle \ mu = {\ Frac {p _ {\ sprawca} ^ {2} {2mB}}}$$

który szanuje szczególną teorię względności. ${\ Displaystyle p _ {\ perp} = \ gamma mv_ {\ perp}}$ jest relatywistycznym pędem prostopadłym do pola magnetycznego. ${\ Displaystyle \ mu}$$}$ stałą ruchu do wszystkich rzędów w rozwinięciu w szybkością ω $\ Displaystyle \ omega$ wszelkie zmiany doświadczane przez cząstkę, np. w wyniku zderzeń lub czasowych lub przestrzennych zmian pola magnetycznego. W konsekwencji moment magnetyczny pozostaje prawie stały, nawet przy zmianach z szybkością zbliżoną do częstotliwości żyroskopowej. Kiedy μ jest stałe, energia cząstek prostopadłych jest proporcjonalna do B , więc cząstki mogą być ogrzewane poprzez zwiększanie B , ale jest to transakcja „jednorazowa”, ponieważ pola nie można zwiększać w nieskończoność. Znajduje zastosowanie w lusterkach magnetycznych i butelkach magnetycznych .

Istnieje kilka ważnych sytuacji, w których moment magnetyczny nie jest niezmienny:

• Pompowanie magnetyczne: jeśli częstotliwość kolizji jest większa niż częstotliwość pompy, μ nie jest już zachowane. W szczególności zderzenia umożliwiają ogrzewanie netto poprzez przeniesienie części energii prostopadłej na energię równoległą.
• Ogrzewanie cyklotronowe: Jeśli B oscyluje z częstotliwością cyklotronu, warunek niezmienności adiabatycznej jest naruszony i ogrzewanie jest możliwe. W szczególności indukowane pole elektryczne obraca się w fazie z niektórymi cząstkami i stale je przyspiesza.
• Guzki magnetyczne: Pole magnetyczne w środku guzka zanika, więc częstotliwość cyklotronu jest automatycznie mniejsza niż tempo jakichkolwiek zmian. W ten sposób moment magnetyczny nie jest zachowany i cząstki są stosunkowo łatwo rozpraszane w stożku strat .

Drugi niezmiennik adiabatyczny, J

Podłużny niezmiennik cząstki uwięzionej w zwierciadle magnetycznym ,

$${\ Displaystyle J = \ int _ {a} ^ {b} p _ {\ równolegle} ds$$

gdzie całka jest między dwoma punktami zwrotnymi, jest również niezmiennikiem adiabatycznym. Gwarantuje to np., że poruszająca się wokół Ziemi cząstka w magnetosferze zawsze powraca do tej samej linii sił. Warunek adiabatyczny jest naruszany podczas pompowania magnetycznego w czasie przejścia , gdzie długość zwierciadła magnetycznego oscyluje z częstotliwością odbicia, co powoduje nagrzewanie netto.

Trzeci niezmiennik adiabatyczny, Φ

Całkowity strumień magnetyczny $dryfu$ jest trzecim niezmiennikiem adiabatycznym, związanym z okresowym ruchem cząstek uwięzionych w lustrze, dryfujących wokół osi układu. Ponieważ ten ruch dryfu jest $nie$ powolny, często jest zachowany w praktycznych zastosowaniach.

•   Yourgrau, Wolfgang; Stanleya Mandelstama (1979). Zasady wariacyjne w dynamice i teorii kwantowej . Nowy Jork: Dover. §10. ISBN 978-0-486-63773-0 .
•   Pauli, Wolfgang (1973). Charles P. Enz (red.). Pauli Wykłady z fizyki . Tom. 4. Cambridge, Mass: MIT Press. s. 85–89. ISBN 978-0-262-66035-8 .

Linki zewnętrzne

• notatki z wykładów na temat drugiego niezmiennika adiabatycznego
• notatki z wykładów na temat trzeciego niezmiennika adiabatycznego