Model Luttingera-Kohna

Posmak teorii perturbacji k·p stosowanej do obliczania struktury wielu zdegenerowanych pasm elektronowych w półprzewodnikach masowych i studniach kwantowych . Metoda jest uogólnieniem teorii pojedynczego pasma k · p .

W tym modelu wpływ wszystkich pozostałych pasm jest uwzględniany przy użyciu metody perturbacji Löwdina .

Tło

Wszystkie zespoły można podzielić na dwie klasy:

• Klasa A : sześć pasm walencyjnych (ciężkie dziury, lekkie dziury, pasmo oddzielone i ich spinowe odpowiedniki) oraz dwa pasma przewodnictwa.
• Klasa B : wszystkie inne pasma.

Metoda koncentruje się na pasmach klasy A i uwzględnia pasma klasy B w sposób perturbacyjny.

Możemy zapisać zaburzone rozwiązanie jako liniową kombinację niezakłóconych stanów własnych: $_ {i} ^ {(0)}$$phi$ }

${\ Displaystyle \ fi = \ suma _ {n} ^ {A, B} a_ {n} \ fi _ {n} ^ {(0)}}$

Zakładając, że niezakłócone stany własne są ortonormalizowane, równania własne są następujące:

${\ Displaystyle (EH_ {mm}) a_ {m} = \ suma$ ,

Gdzie

${\ Displaystyle H_ {mn} = \ int \ phi _ {m} ^ {( 0)\sztylet }H\phi _{n}^{(0)}d^{3}\mathbf {r} =E_{n}^{(0)}\delta _{mn}+H_{mn} ^{'}}$ .

Z tego wyrażenia możemy napisać:

${\ Displaystyle a_ {m} = \ suma _ {n \ neq$ ,

gdzie pierwsza suma po prawej stronie dotyczy tylko stanów w klasie A, podczas gdy druga suma dotyczy stanów w klasie B. Ponieważ interesują nas współczynniki dla m za $displaystyle a_ {m}}$ { w klasie A możemy wyeliminować te w klasie B za pomocą procedury iteracyjnej, aby otrzymać:

${\ Displaystyle a_ {m} = \ suma _ {n} ^ {A} {\ Frac {U_ {mn} ^{A}-\delta _{mn}H_{mn}}{E-H_{mm}}}a_{n}}$ ,

${\ Displaystyle U_ {mn} ^ {A} = H_ {mn} + \ suma _ {\ alfa \ neq m} ^ {B} {\ Frac {H_ {m \ alfa} H_ {\ alfa n}} {E -H_{\alpha \alpha }}}+\sum _{\alpha ,\beta \neq m,n;\alpha \neq \beta}}{\frac {H_{m\alpha}H_{\alpha \beta} H_{\beta n}}{(E-H_{\alpha \alpha})(E-H_{\beta \beta})}}+\ldots}$

Równoważnie, dla za ${\ displaystyle a_ {n}}$ ( ${\ displaystyle n \ in A}$ ): za n {\ displaystyle a_ {n

${\ Displaystyle a_ {n} = \ suma _ {n} ^ {A} (U_ {mn} ^ {A }-E\delta _{mn})a_{n}=0,m\w A}$

I

${\ Displaystyle a_ {\ gamma} = \ suma _ {n} ^ {A} {\ frac {U_{\gamma n}^{A}-H_{\gamma n}\delta _{\gamma n}}{E-H_{\gamma \gamma }}}a_{n}=0,\gamma \ w B}$ .

Kiedy współczynniki $do$ klasy A są określone $,$ .

Równanie Schrödingera i funkcje bazowe

Hamiltonian obejmujący interakcję spin-orbita można zapisać jako :

${\ Displaystyle H = H_ {0} + {\ Frac {\ hbar} {4m_ {0} ^ {2} c ^ {2}}} {\bar {\sigma}}\cdot \nabla V\times \mathbf {p}}$ ,

gdzie $.$ wektorem macierzy spinowej Podstawiając do równania Schrödingera otrzymujemy

${\ Displaystyle Hu _ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = \ lewo (H_ {0} + {\ Frac {\ hbar} {m_ {0}}} \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {\Pi} +{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{4m_{0}^{2}c^{2}}}\nabla V\times \mathbf {p} \cdot {\bar {\sigma}}\right)u_{n\mathbf {k}}(\mathbf {r})=E_{n}(\mathbf {k})u_{n\mathbf {k}}(\ mathbf {r} )}$ ,

Gdzie

${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} = \ mathbf {p} + {\ Frac {\ hbar} {4m_ {0} ^ {2} c ^ { 2}}}{\bar {\sigma }}\razy \nabla V}$

a hamiltonian perturbacji można zdefiniować jako

${\ Displaystyle H' = {\ Frac {\ hbar} {m_ {0}}} \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {\ Pi}.}$

Niezakłócony hamiltonian odnosi się do układu spin-orbita na krawędzi pasma (dla k = 0). Na krawędzi pasma fale Blocha w paśmie przewodnictwa wykazują symetrię podobną do s, podczas gdy stany pasma walencyjnego są podobne do p (3-krotnie zdegenerowane bez spinu). Oznaczmy te stany jako ${\ Displaystyle | S \ rangle}$ i ${\ Displaystyle | X \ rangle}$ , ${\ Displaystyle | Y \ rangle}$ i ${\ Displaystyle | Z \ rangle}$ odpowiednio. Te funkcje Blocha można zobrazować jako okresowe powtarzanie orbitali atomowych, powtarzane w odstępach odpowiadających rozstawowi sieci. Funkcję Blocha można rozwinąć w następujący sposób:

${\ Displaystyle u _ {n \ mathbf {k}}$ ,

gdzie j ' jest w klasie A i jest w klasie B. Funkcje bazowe można wybrać jako ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ Displaystyle u_ {10} (\ mathbf {r}) = u_ {el} (\ mathbf {r}) = \ lewo | S {\ Frac {1} {2}}, {\ Frac {1 }{2}}\right\rangle =\left|S\uparrow \right\rangle }$

${\ Displaystyle u_ {20} (\ mathbf {r}) = u_ {SO} (\ mathbf {r}) = \ lewo | {\ Frac {1} {2}}, {\ Frac {1} {2}}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}}|(X+iY)\strzałka w dół \rangle +{\frac {1}{\sqrt {3}}}|Z \uparrow \rangle }$

${\ Displaystyle u_ {30} (\ mathbf {r}) = u_ {lh} (\ mathbf {r}) = \ lewo | {\ Frac {3} {2}}, {\ Frac {1} {2}}\right\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {6}}}|(X+iY)\strzałka w dół \rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}| Z\uparrow \rangle }$

${\ Displaystyle u_ {40} (\ mathbf {r}) = u_ {hh} (\ mathbf {r}) = \ lewo | {\ Frac {3} {2}}, { \frac {3}{2}}\right\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {2}}}|(X+iY)\uparrow \rangle }$

${\ Displaystyle u_ {50} (\ mathbf {r}) = {\ bar {u}} _ {el} (\ mathbf {r}) = \ lewo | S {\ Frac {1} {2} },-{\frac {1}{2}}\right\rangle =-|S\strzałka w dół \rangle }$

${\ Displaystyle u_ {60} (\ mathbf {r}) = {\ bar {u}} _ {SO} (\ mathbf {r}) = \ lewo | {\ Frac {1} {2}} ,-{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}}|(X-iY)\uparrow \rangle -{\frac {1}{\ sqrt {3}}}|Z\strzałka w dół \rangle }$

${\ Displaystyle u_ {70} (\ mathbf {r}) = {\ bar {u}} _ {lh} (\ mathbf {r}) = \ lewo | {\ Frac {3} {2}} ,-{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {6}}}|(X-iY)\uparrow \rangle +{\sqrt {\frac {2 }{3}}}|Z\strzałka w dół \rangle }$

${\ Displaystyle u_ {80} (\ mathbf {r}) = {\ bar {u}} _ {hh} (\ mathbf {r}) = \ lewo | {\ Frac {3 }{2}},-{\frac {3}{2}}\right\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {2}}}|(X-iY)\strzałka w dół \rangle }$ .

Korzystając z metody Löwdina, należy rozwiązać tylko następujący problem wartości własnej

${\ Displaystyle \ suma _ {j'} ^ {A} (U_ {jj'} ^ {A} - E\delta _{jj'})a_{j'}(\mathbf {k} )=0,}$

Gdzie

${\ Displaystyle U_ {jj'} ^ {A} = H_ {jj'} + \ suma _ {\ gamma \ neq j, j'} ^ {B} {\ Frac {H_ {j \ gamma} H_{\gamma j'}}{E_{0}-E_{\gamma }}}=H_{jj'}+\sum _{\gamma \neq j,j'}^{B}{\frac {H_ {j\gamma}^{'}H_{\gamma j'}^{'}}{E_{0}-E_{\gamma}}}}$ ,

${\ Displaystyle H_ {j \ gamma} ^ {'} = \ lewo \ langle u_ {j0} \ prawo | {\ Frac {\ hbar} {m_ {0}}} \ mathbf {k} \ cdot \ lewo (\ mathbf {p} +{\frac {\hbar }{4m_{0}c^{2}}}{\bar {\sigma }}\times \nabla V\right)\left|u_{\gamma 0}\ prawo\rangle \około \sum _{\alpha}}{\frac {\hbar k_{\alfa}}{m_{0}}}p_{j\gamma}^{\alfa}.}$

Drugi człon $p$ pominąć w porównaniu z podobnym członem z zamiast k . Podobnie jak w przypadku pojedynczego pasma, możemy napisać dla ${\ Displaystyle U_ {jj'} ^ {A}}$

${\ Displaystyle D_ {jj '} \ równoważnik U_ {jj '} ^ {A}=E_{j}(0)\delta _{jj'}+\suma _{\alfa \beta}D_{jj'}^{\alfa \beta}k_{\alfa}k_{\beta} ,}$

${\ Displaystyle D_ {jj '} ^ {\ alfa \ beta} = {\ Frac {\ hbar ^ {2}} {2m_ {0}}} \ lewo [\ delta _ {jj'} \ delta _ {\ alfa \beta }+\suma _{\gamma }^{B}{\frac {p_{j\gamma}^{\alpha}p_{\gamma j'}^{\beta }+p_{j\gamma }^ {\beta}p_{\gamma j'}^{\alpha}}{m_{0}(E_{0}-E_{\gamma})}}\right].}$

Zdefiniujemy teraz następujące parametry

${\ Displaystyle A_ {0} = {\ Frac {\ hbar ^ {2}} {2m_ {0} }}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m_{0}^{2}}}\sum _{\gamma }^{B}{\frac {p_{x\gamma}^{x }p_{\gamma x}^{x}}{E_{0}-E_{\gamma }}},}$

${\ Displaystyle B_ {0} = {\ Frac {\ hbar ^ {2}} {2m_ {0}}} + {\ Frac {\ hbar ^ {2} }}{m_{0}^{2}}}\sum _{\gamma }^{B}{\frac {p_{x\gamma }^{y}p_{\gamma x}^{y}}{ E_{0}-E_{\gamma}}},}$

${\ Displaystyle C_ {0} = {\ Frac {\ hbar ^ {2}} {m_ {0} ^ {2}}} \ suma _ {\ gamma} ^ {B} {\ Frac { p_{x\gamma }^{x}p_{\gamma y}^{y}+p_{x\gamma }^{y}p_{\gamma y}^{x}}{E_{0}-E_{ \gamma }}},}$

a parametry struktury pasma (lub parametry Luttingera ) mogą być określone jako

${\ Displaystyle \ gamma _ {1} = - {\ Frac {1} {3}} {\ Frac {2m_ {0}} {\ hbar ^ {2}}} (A_ {0}+2B_ {0}),}$

${\ Displaystyle \ gamma _ {2} = - {\ Frac { 1}{6}}{\frac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}(A_{0}-B_{0}),}$

${\ Displaystyle \ gamma _ {3} = - {\ Frac {1} {6}} {\ Frac {2m_ {0}} {\ hbar ^ {2}}} C_ {0} ,}$

Parametry te są bardzo ściśle związane z efektywnymi masami dziur w różnych pasmach walencyjnych. ${\ Displaystyle \ gamma _$$}$ i opisują ${\ Displaystyle | X \ rangle}$ , ${\ Displaystyle | Y \ rangle}$ i ${\ Displaystyle | Z \ rangle}$ stwierdza się w innych stanach. Trzeci parametr ${\ Displaystyle \ gamma _ {3}}$ odnosi się do anizotropii struktury pasma energii wokół punktu, gdy $\ gamma _ {2} \ neq \ gamma _ {3}$$Displaystyle$ .

Jawna macierz Hamiltona

Hamiltonian Luttingera-Kohna $2$ zapisać jawnie jako macierz 8X8 (biorąc pod uwagę 8 pasm - 2 przewodnictwo, 2 ciężkie dziury, 2 rozdzielone)

${\ Displaystyle \ mathbf {H} = \ lewo ({\ rozpocząć {tablica} {cccccccc} E_ {el} i P_ {z} i {\ sqrt {2}} P_ {z} i - {\ sqrt {3}} P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\P_{z}^{\sztylet}&P+\Delta &{\sqrt {2}}Q^{\sztylet}& -S^{\sztylet }/{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}P_{+}^{\sztylet }&0&-{\sqrt {3/2}}S&-{\sqrt { 2}}R\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{- }&P_{-}&0\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_ {-}&P_{-}&0\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2} }P_{-}&P_{-}&0\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt { 2}}P_{-}&P_{-}&0\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\ sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0& {\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\\end{tablica}}\right)}$

Streszczenie

2. Luttinger, JM Kohn, W., „Ruch elektronów i dziur w zaburzonych polach okresowych”, Phys. Obj. 97,4. s. 869-883, (1955). https://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.97.869