k·p teoria zaburzeń

W fizyce ciała stałego teoria zaburzeń k·p jest przybliżonym, półempirycznym podejściem do obliczania struktury pasmowej (szczególnie efektywnej masy ) i właściwości optycznych krystalicznych ciał stałych. Wymawia się ją jako „k kropka p” i jest również nazywana „ k·p ”. Teoria ta została zastosowana w szczególności w ramach modelu Luttingera-Kohna (za Joaquinem Mazdakiem Luttingerem i Walterem Kohnem ) oraz modelu Kane'a (za Evana O. Kane'a ).

Tło i pochodzenie

Twierdzenie Blocha i wektory falowe

Zobacz też: Stan Blocha

Zgodnie z mechaniką kwantową (w przybliżeniu jednoelektronowym ), quasi-swobodne elektrony w dowolnej bryle charakteryzują się funkcjami falowymi , które są stanami własnymi następującego stacjonarnego równania Schrödingera :

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {p ^ {2}} {2 m}} + V \ prawej) \ psi = E \ psi}$

gdzie p jest kwantowo-mechanicznym operatorem pędu , V jest potencjałem , a m jest masą próżniową elektronu. (To równanie pomija efekt spin-orbita ; patrz poniżej).

W krystalicznym ciele stałym V jest funkcją okresową o takiej samej okresowości jak sieć krystaliczna . Twierdzenie Blocha dowodzi, że rozwiązania tego równania różniczkowego można zapisać w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ psi _ {n, \ mathbf {k}} (\ mathbf {x}) = e ^ {i \ mathbf { k} \cdot \mathbf {x} }u_{n,\mathbf {k} }(\mathbf {x} )}$

gdzie k jest wektorem (nazywanym wektorem falowym ), n jest indeksem dyskretnym (nazywanym indeksem pasma ), a u _{n , k} jest funkcją o tej samej okresowości co sieć krystaliczna.

Dla dowolnego danego n powiązane stany nazywane są pasmem . W każdym paśmie będzie istniała zależność między wektorem falowym k a energią stanu E _{n , k} , zwana dyspersją pasma . Obliczanie tej dyspersji jest jednym z podstawowych zastosowań k · p .

Teoria zaburzeń

Zobacz też: Teoria zaburzeń (mechanika kwantowa)

Funkcja okresowa u _{n , k} spełnia następujące równanie typu Schrödingera (po prostu bezpośrednie rozwinięcie równania Schrödingera o funkcję falową typu Blocha):

${\ Displaystyle H _ {\ mathbf {k}} u_ {n, \ mathbf {k}} = E_ {n, \ mathbf {k}} u_ {n ,\mathbf {k} }}$

gdzie jest hamiltonian

${\ Displaystyle H _ {\ mathbf {k}} = {\ Frac {p ^ {2}} {2m}} + { \frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V}$

Zauważ, że k jest wektorem składającym się z trzech liczb rzeczywistych o wymiarach odwrotnej długości , podczas gdy p jest wektorem operatorów; być wyraźnym,

${\ Displaystyle \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {p } = k_{x}(-i\hbar {\frac {\częściowy}}{\częściowy x}})+k_{y}(-i\hbar {\frac {\częściowy}}{\częściowy y}})+ k_ {z} (-i \ hbar {\ frac {\ częściowy }{\ częściowy z}})}$

W każdym razie piszemy ten hamiltonian jako sumę dwóch wyrazów:

${\ Displaystyle H = H_ {0} + H _ {\ mathbf {k} }',\;\;H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}+V,\;\;H_{\mathbf {k}}'={\frac {\hbar ^ {2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}}$

₀ To wyrażenie jest podstawą teorii zaburzeń . „Niewzruszony hamiltonian” to H , co w rzeczywistości równa się dokładnemu hamiltonianowi przy k = 0 (tj. w punkcie gamma ). „Zaburzenie” to termin ${\ Displaystyle H _ {\ mathbf {k}} '}$ . Wynikowa analiza nosi nazwę „ k·p ”, ze względu na wyrażenie proporcjonalne do k·p . Wynikiem tej analizy jest wyrażenie na E _{n , k} i u _{n , k} pod względem energii i funkcji falowych przy k = 0.

$,$ że termin „zaburzenia” staje się coraz mniejszy, gdy zbliża zera. Dlatego teoria zaburzeń k·p jest najdokładniejsza dla małych wartości k . Jeśli jednak w rozszerzeniu perturbacyjnym uwzględni się wystarczającą liczbę wyrazów , teoria może być w rzeczywistości dość dokładna dla dowolnej wartości k w całej strefie Brillouina .

Wyrażenie dla niezdegenerowanego pasma

Dla pasma niezdegenerowanego (tj. pasma, które ma inną energię przy k = 0 niż każde inne pasmo), z ekstremum przy k = 0 i bez sprzężenia spinowo-orbitalnego , wynikiem teorii zaburzeń k · p jest ( do najniższego nietrywialnego rzędu ):

${\ Displaystyle u_ {n, \ mathbf {k}} = u_ {n, 0} + {\ Frac {\ hbar} {m}} \ suma _ {n '\ neq n} {\ Frac {\ langle u_ { n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle }{E_{n,0}-E_{n',0}}}u_{n', 0}}$

${\ Displaystyle E_ {n, \ mathbf {k}} = E_ {n, 0} + {\ Frac {\ hbar ^ {2} k ^ {2}} {2m}} +{\frac {\hbar ^{2}}{m^{2}}}\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \ cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle |^{2}}{E_{n,0}-E_{n',0}}}}$

Ponieważ k jest wektorem liczb rzeczywistych (a nie wektorem bardziej skomplikowanych operatorów liniowych), element macierzowy w tych wyrażeniach można zapisać jako:

${\ Displaystyle \ langle u_ {n, 0} | \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {p} | u_ {n', 0} \ rangle = \ mathbf {k} \ cdot \ langle u_ {n,0}|\mathbf {p} |u_{n',0}\rangle }$

Dlatego można obliczyć energię w dowolnym k , używając tylko kilku nieznanych parametrów, a mianowicie E _{n ,0} i ${\ Displaystyle \ langle u_ {n, 0} | \ mathbf {p} | u_ {n', 0} \ rangle}$ . Te ostatnie nazywane są „elementami matrycy optycznej”, ściśle związanymi z przejściowymi momentami dipolowymi . Parametry te są zwykle wywnioskowane z danych eksperymentalnych.

W praktyce suma po n często obejmuje tylko jeden lub dwa najbliższe pasma, ponieważ te są zwykle najważniejsze (ze względu na mianownik). Jednak dla lepszej dokładności, zwłaszcza przy większym k , należy uwzględnić więcej pasm, a także więcej wyrazów w rozwinięciu perturbacyjnym niż te napisane powyżej.

Efektywna masa

Główny artykuł: Efektywna masa (fizyka ciała stałego)

Korzystając z powyższego wyrażenia na zależność dyspersji energii, można znaleźć uproszczone wyrażenie na efektywną masę w paśmie przewodnictwa półprzewodnika. Aby przybliżyć zależność dyspersji w przypadku pasma przewodnictwa, przyjmij energię E _n0 jako minimalną energię pasma przewodnictwa E _c0 i uwzględnij w sumowaniu tylko wyrazy o energiach bliskich maksimum pasma walencyjnego, gdzie różnica energii w mianowniku jest najmniejsza . (Te wyrazy mają największy udział w sumowaniu.) Ten mianownik jest następnie aproksymowany jako pasmo wzbronione E _g , co prowadzi do wyrażenia energii:

${\ Displaystyle E_ {c} ({\ boldsymbol {k}}) \ około E_ {c0} + {\ Frac {(\ hbar k) ^ {2}} {2m}} + {\ Frac {\ hbar ^ {2}}{{E_{g}}m^{2}}}\sum _{n}{|\langle u_{c,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{ n,0}\rangle |^{2}}}$

Masa efektywna w kierunku ℓ wynosi wtedy:

$\ hbar ^ {2}}} \ suma _ {m} \ cdot {{ \częściowy ^{2}E_{c}({\boldsymbol {k}})} \ponad {\częściowy k_{\ell}\częściowy k_{m}}}\około {\frac {1}{m}} +{\frac {2}{E_{g}m^{2}}}\sum _{m,\ n}{\langle u_{c,0}|p_{\ell }|u_{n,0} \rangle }{\langle u_{n,0}|p_{m}|u_{c,0}\rangle }}$

Ignorując szczegóły elementów matrycy, kluczowe konsekwencje są takie, że efektywna masa zmienia się wraz z najmniejszym pasmem wzbronionym i spada do zera, gdy przerwa dąży do zera. Przydatnym przybliżeniem elementów matrycy w półprzewodnikach z bezpośrednią przerwą jest:

${\ Displaystyle {\ Frac {2} {E_ {g} m ^ {2}}} \ suma _ {m, \ n} {| \ langle u_ {c, 0} | p_ {\ ell} | u_ {n ,0}\rangle |}{|\langle u_{c,0}|p_{m}|u_{n,0}\rangle |}\około 20\mathrm {eV} {\frac {1}{mE_{ G}}}\ ,}$

co dotyczy około 15% lub więcej dla większości półprzewodników grupy IV, III-V i II-VI.

W przeciwieństwie do tego prostego przybliżenia, w przypadku energii pasma walencyjnego należy wprowadzić interakcję spin-orbita (patrz poniżej) i indywidualnie rozważyć znacznie więcej pasm. Obliczenia podano w Yu i Cardona . W paśmie walencyjnym nośnikami ruchomymi są dziury . Stwierdzono, że istnieją dwa rodzaje dziur, nazwane ciężkimi i lekkimi , o masach anizotropowych.

model k·p z interakcją spin-orbita

Uwzględniając interakcję spin-orbita , równanie Schrödingera dla u jest następujące:

${\ Displaystyle H _ {\ mathbf {k}} u_ {n, \ mathbf {k}} = E_ {n, \ mathbf {k}} u_ {n ,\mathbf {k} }}$

Gdzie

${\ Displaystyle H _ {\ mathbf {k}} = {\ Frac {p ^ {2}} {2m}} + {\ Frac {\ hbar} {m}} \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {p} +{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V+{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}(\nabla V\times ( \mathbf {p} +\hbar \mathbf {k}}}\cdot {\vec {\sigma}}}$

gdzie ${\ Displaystyle {\ vec {\ sigma}} = (\ sigma _ {x}, \ sigma _ {y}, \ sigma _ {z})$ } wektor składający się z trzech macierzy Pauliego . Ten hamiltonian można poddać temu samemu rodzajowi analizy teorii perturbacji, co powyżej.

Obliczenia w przypadku zdegenerowanym

W przypadku pasm zdegenerowanych lub prawie zdegenerowanych, w szczególności pasm walencyjnych w niektórych materiałach, takich jak arsenek galu , równania można analizować metodami zdegenerowanej teorii zaburzeń . Modele tego typu obejmują „ model Luttingera – Kohna ” (inaczej „model Kohna – Luttingera”) oraz „ model Kane'a ”.

Ogólnie rzecz biorąc, wprowadza się skuteczny hamiltonian , a elementy macierzy pierwszego rzędu można wyrazić jako ${\ Displaystyle H ^ {\ rm {eff}}}$

${\ Displaystyle H _ {\ mathbf {k}, mn} ^ {\ rm {eff}} = \ langle u_ {m, 0} | H_ {0} | u_ {n, 0} \ rangle + \ mathbf {k} \cdot \langle u_{m,0}|\nabla _{\mathbf {k} }H_{\mathbf {k}}'|u_{n,0}\rangle }$

Po jego rozwiązaniu otrzymuje się funkcje falowe i pasma energii.

Zobacz też

Elektroniczna struktura pasma

• Elektroniczna struktura pasma
• Model elektronu prawie swobodnego
• Model Kroniga-Penneya

Właściwości pasma

• Przerwa pasmowa
• Efektywna masa
• Gęstość stanów
• Powierzchnia Fermiego

Funkcje falowe

• Funkcje Wanniera
• Twierdzenie Blocha

Teoria fundamentalna

• Równania Kohna-Shama
• Przybliżenie gęstości lokalnej