Model elektronu prawie swobodnego

W fizyce ciała stałego model prawie swobodnych elektronów (lub model NFE i model quasi-swobodnych elektronów ) jest kwantowo-mechanicznym modelem właściwości fizycznych elektronów , które mogą poruszać się prawie swobodnie w sieci krystalicznej ciała stałego. Model ten jest ściśle powiązany z bardziej koncepcyjnym przybliżeniem pustej sieci . Model umożliwia zrozumienie i obliczenie struktur pasmowych elektronów , zwłaszcza metali .

Model ten jest natychmiastowym ulepszeniem modelu swobodnych elektronów , w którym metal uznano za nieoddziałujący gaz elektronowy , a jony całkowicie pominięto.

Sformułowanie matematyczne

Zależność dyspersji dla modelu 2D prawie swobodnych elektronów jako funkcja podstawowej struktury krystalicznej.

Model prawie swobodnych elektronów jest modyfikacją modelu gazu swobodnych elektronów , który obejmuje słabe perturbacje okresowe , mające na celu modelowanie interakcji między elektronami przewodzącymi a jonami w krystalicznym ciele stałym. Model ten, podobnie jak model swobodnego elektronu, nie uwzględnia interakcji elektron-elektron; to znaczy niezależne przybliżenie elektronów nadal obowiązuje.

Jak pokazuje twierdzenie Blocha , wprowadzenie potencjału okresowego do równania Schrödingera daje w wyniku funkcję falową postaci

$${\ Displaystyle \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r } )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$

gdzie funkcja ma taką samą okresowość jak krata : ${\ displaystyle u _ {\ mathbf {k}}}$

$${\ Displaystyle u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r} + \ mathbf { T} )}$$

(gdzie jest wektorem translacji sieci $.$

Ponieważ jest to przybliżenie prawie swobodnego elektronu, możemy to założyć

$${\ Displaystyle u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) \ około {\ Frac {1} {\ sqrt {\ Omega _ {r}}}}}$$

gdzie $opisano$ objętość stanów o stałym promieniu $jak$ paradoksie Gibbsa ).

Rozwiązanie tej postaci można podłączyć do równania Schrödingera, uzyskując równanie centralne :

$$\ Displaystyle (\ lambda _ {\ mathbf {k}} - \ varepsilon) C _ {\ mathbf {k}} + \ suma _ {$$

gdzie energia kinetyczna jest dana przez ${\ Displaystyle \ lambda _ {\ mathbf {k}}}$

$${\ Displaystyle \ lambda _ {\ mathbf {k}} \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = - {\ Frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2}\psi _{\mathbf {k}}(\mathbf {r} )=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}(u_{\mathbf {k } }(\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} })}$$

co po podzieleniu przez zmniejsza się do ${\ Displaystyle \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r})}$

$${\ Displaystyle \ lambda _ {\ mathbf {k}} = {\ Frac {\ hbar ^ {2} k ^ {2}} {2m}}}$$

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) \ ll k ^ {2}.}$ założymy $,$ prawie

Odwrotne parametry $Displaystyle \$ są współczynnikami Fouriera $r )$ falowej $($ i ekranowana energia potencjalna odpowiednio: ${\ Displaystyle U (\ mathbf {r})}$

$${\ Displaystyle U (\ mathbf {r}) = \ suma _ {\ mathbf {G}} U _ {\ mathbf {G}} e ^ {i \ mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }}$$

$$\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = \ suma _ {\ mathbf {k}} C _ {\ mathbf {k}} e ^ {i \ mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$

Wektory są odwrotnymi wektorami sieci $przez$ a dyskretne wartości $są określone$ warunki brzegowe rozważanej sieci

W każdej analizie perturbacji należy wziąć pod uwagę przypadek bazowy, do którego stosuje się perturbację. Tutaj przypadek podstawowy jest taki, że ${\ displaystyle U (x) = 0}$ , a zatem wszystkie współczynniki Fouriera potencjału również wynoszą zero. W tym przypadku centralne równanie sprowadza się do postaci

$${\ Displaystyle (\ lambda _ {\ mathbf {k}} - \ varepsilon) C _ {\ mathbf {k}} = 0}$$

Ta tożsamość oznacza, że ​​dla każdego musi zachodzić jeden z dwóch następujących przypadków: ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$

1. ${\ Displaystyle C _ {\ mathbf {k}} = 0}$ ,
2. ${\ Displaystyle \ lambda _ {\ mathbf {k}} = \ varepsilon}$

Jeśli wartości nie są zdegenerowane , to drugi przypadek występuje tylko dla jednej wartości , podczas gdy dla reszty ${k}}}$$\ Displaystyle \ lambda _ {\$ , współczynnik rozszerzalności Fouriera ${\ displaystyle C _ {\ mathbf {k}}}$ wynosić zero. do W tym niezdegenerowanym przypadku pobierany jest standardowy wynik gazu swobodnych elektronów:

$$\ Displaystyle \ psi _ {\ mathbf {k}} \ propto e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}}$$

Jednak w zdegenerowanym przypadku będzie zbiór wektorów kratowych z ${\ Displaystyle \ lambda _ {1} = \ kropki = \ lambda _ {m}}$${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {1}, \ kropki, \ mathbf {k} _ {m}}$ . Kiedy energia $będzie$ równa tej wartości $Displaystyle$ m $m}$ niezależne rozwiązania fali płaskiej, których rozwiązaniem jest również dowolna kombinacja liniowa:

$$\ Displaystyle \ psi \ propto \ suma _ {j = 1} ^ {m} A_ {j} e ^ {i \ mathbf {k} _ {j }\cdot \mathbf {r} }}$$

Niezdegenerowaną i zdegenerowaną teorię perturbacji można zastosować w tych dwóch przypadkach do rozwiązania współczynników Fouriera funkcji $C _ {\ mathbf {k}}$ (poprawnej do pierwszego rzędu w ) do k $displaystyle$ } i wartość własna energii (poprawić do drugiego rzędu $w$ . Ważnym wynikiem tego wyprowadzenia jest to, że nie ma przesunięcia pierwszego rzędu w energii ${\ displaystyle \ varepsilon}$ w przypadku braku degeneracji, podczas gdy występuje w przypadku bliskiej degeneracji, co sugeruje, że ten drugi przypadek jest ważniejszy w tej analizie. W szczególności na strefy Brillouina (lub równoważnie w dowolnym punkcie płaszczyzny Bragga ) można znaleźć podwójną degenerację energii, która powoduje zmianę energii określoną przez:

$${\ Displaystyle \ varepsilon = \ lambda _ {\ mathbf {k}} \ pm | U _ {\ mathbf {G}} |}$$

Ta przerwa energetyczna między strefami Brillouina jest znana jako pasmo wzbronione i ma wielkość ${\ Displaystyle 2 | U _ {\ mathbf {G}} |}$ .

Wyniki

Wprowadzenie tego słabego zaburzenia ma znaczący wpływ na rozwiązanie równania Schrödingera , powodując przede wszystkim pasmo wzbronione między wektorami fal w różnych strefach Brillouina .

uzasadnienia

W tym modelu przyjęto założenie, że oddziaływanie między elektronami przewodzącymi a rdzeniami jonowymi można modelować za pomocą „słabego” potencjału zakłócającego. Może się to wydawać poważnym przybliżeniem, ponieważ przyciąganie kulombowskie między tymi dwiema cząstkami o przeciwnych ładunkach może być dość znaczące na krótkich odległościach. Można to jednak częściowo uzasadnić, zwracając uwagę na dwie ważne właściwości układu mechaniki kwantowej:

1. Siła między jonami a elektronami jest największa na bardzo małych odległościach. Jednak elektrony przewodzące nie mogą „zbliżyć się” tak blisko rdzeni jonowych ze względu na zasadę wykluczenia Pauliego : orbitale najbliżej rdzenia jonowego są już zajęte przez elektrony rdzenia. Dlatego elektrony przewodzące nigdy nie zbliżają się wystarczająco blisko rdzeni jonowych, aby poczuć ich pełną siłę.
2. Ponadto elektrony rdzenia osłaniają wielkość ładunku jonów „widzianą” przez elektrony przewodzące. Rezultatem jest efektywny ładunek jądrowy doświadczany przez elektrony przewodzące, który jest znacznie zmniejszony w stosunku do rzeczywistego ładunku jądrowego.

Zobacz też

• Puste przybliżenie kratowe
• Elektroniczna struktura pasma
• Mocno wiązany model
• Twierdzenie Blocha
• Model Kroniga-Penneya

•   Ashcroft, Neil W.; Mermin, N. David (1976). Fizyka ciała stałego . Orlando: Harcourt. ISBN 0-03-083993-9 .
•   Kittel, Charles (1996). Wprowadzenie do fizyki ciała stałego (wyd. 7). Nowy Jork: Wiley. ISBN 0-471-11181-3 .
•   Elliott, Stephen (1998). Fizyka i chemia ciał stałych . Nowy Jork: Wiley. ISBN 0-471-98194-X .