Funkcja Wanniera

Funkcje Wanniera potrójnych i pojedynczych dimerów azotu w azotku palladu.

Funkcje Wanniera to kompletny zestaw funkcji ortogonalnych używanych w fizyce ciała stałego . Zostały one wprowadzone przez Gregory'ego Wanniera w 1937 roku. Funkcje Wanniera to zlokalizowane orbitale molekularne układów krystalicznych.

Funkcje Wanniera dla różnych miejsc sieci w krysztale są ortogonalne, co stanowi wygodną podstawę do rozszerzania stanów elektronowych w określonych reżimach. Funkcje Wanniera znalazły szerokie zastosowanie, na przykład w analizie sił wiążących działających na elektrony; istnienie wykładniczo zlokalizowanych funkcji Wanniera w izolatorach zostało udowodnione w 2006 roku. W szczególności funkcje te są również wykorzystywane w analizie ekscytonów i skondensowanej materii Rydberga .

Definicja

Przykład zlokalizowanej funkcji Wanniera tytanu w tytanianie baru (BaTiO3)

Chociaż, podobnie jak zlokalizowane orbitale molekularne , funkcje Wanniera można wybierać na wiele różnych sposobów, oryginalna, najprostsza i najpowszechniejsza definicja w fizyce ciała stałego jest następująca. Wybierz pojedynczy prążek w idealnym krysztale i oznacz jego stany Blocha przez

${\ Displaystyle \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} }u_ {\mathbf {k}}(\mathbf {r} )}$

gdzie u _k ( r ) ma taką samą okresowość jak kryształ. Następnie funkcje Wanniera są zdefiniowane przez

${\ Displaystyle \ phi _ {\ mathbf {R}} (\ mathbf {r}) = {\ Frac {1} {\ sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {k}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R}}\psi _{\mathbf {k}}(\mathbf {r} )}$ ,

Gdzie

• R jest dowolnym wektorem sieci (tj. istnieje jedna funkcja Wanniera dla każdego wektora sieci Bravais );
• N to liczba prymitywnych komórek w krysztale;
• Suma na k obejmuje wszystkie wartości k w strefie Brillouina (lub dowolnej innej prymitywnej komórce odwrotnej sieci ), które są zgodne z okresowymi warunkami brzegowymi na krysztale. Obejmuje to N różnych wartości k , rozłożonych równomiernie w strefie Brillouina. Ponieważ N jest zwykle bardzo duże, sumę można zapisać jako całkę zgodnie z regułą zastępowania:

${\ Displaystyle \ suma _ {\ mathbf {k}} \ longrightarrow {\ Frac {N} {\ Omega}} \ int _ {\ tekst {BZ}} d ^ {3 }\mathbf {k} }$

gdzie „BZ” oznacza strefę Brillouina , która ma objętość Ω.

Nieruchomości

Na podstawie tej definicji można udowodnić, że zachodzą następujące właściwości:

• Dla dowolnego wektora kratowego R ' ,

${\ Displaystyle \ phi _ {\ mathbf {R}} (\ mathbf {r}) = \ phi _ {\ mathbf {R} +\mathbf {R} '}(\mathbf {r} +\mathbf {R} ')}$

Innymi słowy, funkcja Wanniera zależy tylko od ilości ( r - R ). W rezultacie funkcje te są często zapisywane w notacji alternatywnej

${\ Displaystyle \ phi (\ mathbf {r} - \ mathbf {R}): = \ phi _ {\ mathbf {R}} (\ mathbf {r}) }$

• Funkcje Blocha można zapisać w kategoriach funkcji Wanniera w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = {\ Frac {1} {\ sqrt {N}}} \ suma _ {\ mathbf {R}} e ^ {i \ mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\phi _{\mathbf {R}}(\mathbf {r} )}$ ,

gdzie suma jest nad każdym wektorem sieciowym R w krysztale.

• Zbiór funkcji $.$ podstawą ortonormalną dla danego pasma

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ int _ {\ tekst {kryształ}} \ phi _ {\ mathbf {R}} (\ mathbf {r}) ^ {*} \ phi _ {\ mathbf {R'} }(\mathbf {r})d^{3}\mathbf {r} &={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k,k'} }\int _{\text{ kryształ}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R}}\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )^{*}e^{-i\mathbf {k '} \cdot \mathbf {R'} }\psi _{\mathbf {k'} }(\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} \\&={\frac {1}{ N}}\sum _{\mathbf {k,k'} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R}}e^{-i\mathbf {k'} \cdot \mathbf {R '} }\delta _{\mathbf {k,k'}}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k}}e^{i\mathbf {k} \ cdot \mathbf {(RR')} }\\&=\delta _{\mathbf {R,R'} }\end{wyrównane}}}$

Funkcje Wanniera również zostały rozszerzone do potencjałów prawie okresowych.

Lokalizacja

Stany Blocha ψ _k ( r ) są definiowane jako funkcje własne określonego hamiltonianu, a zatem są definiowane tylko do całkowitej fazy. Stosując transformację fazową e ^{iθ ( k )} do funkcji ψ _k ( r ), dla dowolnej (rzeczywistej) funkcji θ ( k ), uzyskuje się równie ważny wybór. Chociaż zmiana nie ma wpływu na właściwości stanów Blocha, odpowiednie funkcje Wanniera są znacząco zmieniane przez tę transformację.

Korzysta się zatem ze swobody wyboru faz stanów Blocha w celu uzyskania najdogodniejszego zestawu funkcji Wanniera. W praktyce jest to zwykle zbiór maksymalnie zlokalizowany, w którym funkcja Wanniera ϕ _R jest zlokalizowana wokół punktu R i szybko dąży do zera w odległości od R . W przypadku jednowymiarowym Kohn udowodnił, że zawsze istnieje unikalny wybór, który nadaje te właściwości (z zastrzeżeniem pewnych symetrii). W konsekwencji dotyczy to każdego możliwego do rozdzielenia potencjału w wyższych wymiarach; ogólne warunki nie są ustalone i są przedmiotem ciągłych badań.

Niedawno zaproponowano również schemat lokalizacji w stylu Pipeka-Mezeya w celu uzyskania funkcji Wanniera . W przeciwieństwie do maksymalnie zlokalizowanych funkcji Wanniera (które są zastosowaniem schematu Fostera-Boysa do układów krystalicznych), funkcje Pipeka-Mezeya Wanniera nie mieszają orbitali σ i π.

Współczesna teoria polaryzacji

Funkcje Wanniera znalazły ostatnio zastosowanie przy opisywaniu polaryzacji w kryształach, na przykład w ferroelektrykach . Pionierami nowoczesnej teorii polaryzacji są Raffaele Resta i David Vanderbilt. Zobacz na przykład Berghold i Nakhmanson oraz wprowadzenie w Power Point autorstwa Vanderbilta. Polaryzację na komórkę elementarną ciała stałego można zdefiniować jako moment dipolowy gęstości ładunku Wanniera:

${\ Displaystyle \ mathbf {p_ {c}} = - e \ suma _ {n} \ int \ d ^ {3} r \, \ \ mathbf {r} | W_ {n} (\ mathbf {r } )|^{2}\ ,}$

gdzie sumowanie odbywa się po zajętych pasmach, a Wn jest funkcją Wanniera _{zlokalizowaną} w komórce dla pasma n . Zmiana polaryzacji podczas ciągłego procesu fizycznego jest pochodną polaryzacji po czasie i można ją również sformułować w kategoriach fazy Berry'ego zajętych stanów Blocha.

Interpolacja Wanniera

Funkcje Wanniera są często używane do interpolacji struktur pasmowych obliczonych ab initio na zgrubnej siatce k -punktów do dowolnego dowolnego k -punktu. Jest to szczególnie przydatne do obliczania całek strefowych Brillouina na gęstych siatkach i wyszukiwania punktów Weyla, a także do wyznaczania pochodnych w przestrzeni k . Podejście to jest podobne w duchu do ciasnego wiązania , ale w przeciwieństwie do tego pozwala na dokładny opis pasm w określonym zakresie energii. Schematy interpolacji Wanniera zostały wyprowadzone dla właściwości widmowych, anomalnego przewodnictwa Halla , magnetyzacja orbitalna , właściwości transportu termoelektrycznego i elektronicznego, efekty żyrotropowe , prąd przesunięcia , spinowe przewodnictwo Halla i inne efekty.

Zobacz też

• Namagnesowanie orbitalne

Dalsza lektura

•   Karin M. Rabe ; Jean-Marc Triscone; Charles H Ahn (2007). Fizyka ferroelektryków: nowoczesna perspektywa . Skoczek. P. 2. ISBN 978-3-540-34590-9 .

Linki zewnętrzne

• Wannier Gregory H. (1937). „Struktura poziomów wzbudzenia elektronicznego w kryształach izolacyjnych”. Przegląd fizyczny . 52 (3): 191–197. Bibcode : 1937PhRv...52..191W . doi : 10.1103/PhysRev.52.191 .
• Kod komputerowy Wannier90, który oblicza maksymalnie zlokalizowane funkcje Wanniera
• Kod Wanniera Transport, który oblicza maksymalnie zlokalizowane funkcje Wanniera pasujące do aplikacji Quantum Transport
• WannierTools: Pakiet oprogramowania typu open source do nowatorskich materiałów topologicznych
• WannierBerri - kod Pythona do interpolacji Wanniera i obliczeń ścisłego wiązania

Zobacz też

• Twierdzenie Blocha
• Kąt Hannay'a
• Faza geometryczna