Kąt Hannay'a

W mechanice klasycznej kąt Hannaya jest mechanicznym odpowiednikiem wirującej fazy geometrycznej (lub fazy Berry'ego). Został nazwany na cześć Johna Hannaya z University of Bristol w Wielkiej Brytanii. Hannay po raz pierwszy opisał ten kąt w 1985 roku, rozszerzając idee niedawno sformalizowanej fazy Berry'ego na mechanikę klasyczną.

Kąt Hannaya w mechanice klasycznej

Kąt Hannaya jest zdefiniowany w kontekście współrzędnych kąta działania . W systemie początkowo niezmiennym w czasie zmienna $stałą$ . $lambda (t)}$$_{\alfa}^{H}}$ , zmienna akcji $się$ niezmiennikiem adiabatycznym, a kąt Hannay'a H ${\ Displaystyle \$ dla odpowiadającej jej zmiennej kąta można obliczyć zgodnie z całką po ścieżce, która reprezentuje ewolucję, w której zaburzenie wraca do pierwotnej wartości ${\ Displaystyle \ lambda (t)}$

$${\ Displaystyle \ teta _ {\ alfa} ^ {H} = - {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy I _ {\ alfa}} }\oint \!{\boldsymbol {p}}\cdot {\frac {\częściowy {\boldsymbol {q}}}{\częściowy \lambda }}\mathrm {d} \lambda}$$

gdzie i $są$$zmiennymi$ hamiltonianu _ _ _ _

Przykład

Dalsze informacje: Faza geometryczna § Wahadło Foucaulta

Wahadło Foucaulta to przykład z mechaniki klasycznej , który czasami jest również używany do zilustrowania fazy Berry'ego. Poniżej badamy wahadło Foucaulta przy użyciu zmiennych kąta działania. Dla uproszczenia unikniemy stosowania równania Hamiltona-Jacobiego , które jest stosowane w protokole ogólnym.

Rozważamy wahadło płaskie o częstotliwości $wpływem$ obrotu Ziemi, którego prędkość kątowa wynosi ${\ Displaystyle {\ vec {\ Omega}} = ( \Omega _{x},\Omega _{y},\Omega _{z})}$ z amplitudą oznaczoną jako ${\ Displaystyle \ Omega = | {\ vec {\ Omega}} |}$ . Tutaj ${\ displaystyle z}$ punkty kierunkowe od środka Ziemi do wahadła. Lagrange'a dla wahadła jest

$${\ Displaystyle L = {\ Frac {1 }{2}}m({\kropka {x}}^{2}+{\kropka {y}}^{2})-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}( x^{2}+y^{2})+m\Omega _{z}(x{\kropka {y}}-y{\kropka {x}})}$$

Odpowiednie równanie ruchu to

$${\ Displaystyle {\ ddot {x}} + \ omega ^ {2} x = 2 \ Omega _ {z} {\ kropka {y}}}$$

$${\ Displaystyle {\ ddot {y}} + \ omega ^ {2} y = - 2 \ omega _ {z} {\ kropka {x}}}$$

Następnie wprowadzamy zmienną pomocniczą $w$ kątową Mamy teraz równanie dla ${\ displaystyle \ varpi}: ϖ {\ displaystyle \ varpi$ }

$${\ Displaystyle {\ ddot {\ varpi}} + \ omega ^ {2} \ varpi = -2i \ Omega _ {z} {\ kropka {\ varpi} }}$$

Z jego charakterystycznego równania

$${\ Displaystyle \ lambda ^ {2} + \ omega ^ {2} = - 2i \ Omega _ {z} \ lambda}$$

otrzymujemy jego charakterystyczny pierwiastek (zauważamy, że ${\ Displaystyle \ Omega <<\ omega}$ )

$${\ Displaystyle \ lambda = -i \ Omega _ {z} \ pm ja {\ sqrt {\ Omega _ {z} ^ {2}+\omega ^{2}}}\około -i\Omega _{z}\pm i\omega }$$

Rozwiązaniem jest wtedy

$${\ Displaystyle \ varpi = e ^ {-i \ Omega _ {z} t} (Ae ^ {i \ omega t} +Be^{-i\omega t})}$$

Po tym, jak Ziemia obróci się o jeden pełny obrót, czyli , mamy zmianę fazy dla $= 2 \ pi / \ Omega \ około 24h$$}$

$${\ Displaystyle \ Delta \ varphi = 2 \ pi {\ Frac {\ omega} {\ Omega}} + 2 \ pi {\ Frac {\ Omega _ {z} }{\Omega}}}$$

Pierwszy człon wynika z dynamicznego efektu wahadła i jest określany jako faza dynamiczna, podczas gdy drugi człon reprezentuje fazę geometryczną, która jest zasadniczo kątem Hannaya

$${\ Displaystyle \ teta ^ {H} = 2 \ pi {\ Frac {\ Omega _ {z}} {\ Omega}}}$$

• Hannay John H. 1985 Holonomia zmienna kątowa w adiabatycznym wychyleniu całkowalnego hamiltonianu J. Phys. O: Matematyka. Rdz 18 221–30. doi : 10.1088/0305-4470/18/2/011
•   Marsden, Jerrold E .; Montgomery, Richard; Ratiu, Tudor S. (1990). Redukcja, symetria i fazy w mechanice . Księgarnia AMS. P. 69. ISBN 0-8218-2498-8 .
•   C. Pisaniego (1994). Quantum-mechanical Ab-initio Obliczanie właściwości materiałów krystalicznych (red. Proceedings of the IV School of Computational Chemistry of the Italian Chemical Society). Skoczek. P. 282. ISBN 3-540-61645-4 .
•   Karin M. Rabe ; Jean-Marc Triscone; Charles H Ahn (2007). Fizyka ferroelektryków: nowoczesna perspektywa . Skoczek. P. 2. ISBN 3-540-34590-6 .

Linki zewnętrzne

• Profesor John H. Hannay: Najważniejsze badania . Wydział Fizyki Uniwersytetu w Bristolu .