Model hiperelastyczny Ogdena

Model materiałowy Ogdena to hiperelastyczny model materiałowy używany do opisywania nieliniowego zachowania naprężenie - odkształcenie złożonych materiałów, takich jak gumy, polimery i tkanki biologiczne . Model został opracowany przez Raymonda Ogdena w 1972 roku. Model Ogdena, podobnie jak inne modele materiałów hipersprężystych , zakłada, że zachowanie materiału można opisać za pomocą funkcji gęstości energii odkształcenia , z której można wyprowadzić zależności naprężenie-odkształcenie.

Model materiałowy Ogdena

W modelu $_ =1,2,3}$ $.$ energii głównych jako:

{\ Displaystyle W \ lewo (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ lambda _ {3} \ prawej) = \ suma _ {p = 1} ^ {N} {\ Frac {\ mu _ {p}}{\alpha _{p}}}\left(\lambda _{1}^{\alpha _{p}}+\lambda _{2}^{\alpha _{p}}+\lambda _{3}^{\alfa _{p}}-3\prawo)}

gdzie $}$ $p}}$ , ${\ Displaystyle \, \! \ mu _$ i są stałymi materiałowymi. Przy założeniu nieściśliwości można przepisać jako

${\ Displaystyle W \ lewo (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2} \ prawej) = \ suma _ {p = 1} ^ {N} {\ frac {\ mu _ {p}} {\ alfa _{p}}}\left(\lambda _{1}^{\alpha _{p}}+\lambda _{2}^{\alpha _{p}}+\lambda _{1}^{- \alpha _{p}}\lambda _{2}^{-\alpha _{p}}-3\right)}$

Ogólnie moduł sprężystości ścinania wynika z

${\ Displaystyle 2 \ mu = \ suma _ {p = 1} ^ {N} \ mu _ {p} \ alfa _ {p}.}$

Mając ${\ displaystyle N = 3}$ i dopasowując parametry materiału, zachowanie materiału gumy można bardzo dokładnie opisać. Dla określonych wartości stałych materiałowych model Ogdena zredukuje się albo do bryły Neo-Hookeana ( , , ) albo do materiału $= 1} )$ ${\ displaystyle N = 1}$ ) lub materiału Mooneya-Rivlina ( N displaystyle ${\ Displaystyle N = 2$ } ${\ Displaystyle \ alfa _ {1} = 2}$ , ${\ Displaystyle \ alfa _ {2} = -2}$ , z warunkiem ograniczenia ${\ Displaystyle \ lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=1}$ ).

Korzystając z modelu materiałowego Ogdena, można teraz obliczyć trzy główne wartości naprężeń Cauchy'ego jako

${\ Displaystyle \ sigma _ {j} = - p + \ lambda _ {j} {\ Frac { \partial W}{\partial \lambda _{j}}}=-p+\sum _{p=1}^{N}\mu _{p}\lambda _{j}^{\alpha _{p} }}$ .

Napięcie jednoosiowe

Rozważymy teraz nieściśliwy materiał pod napięciem jednoosiowym, ze współczynnikiem rozciągania podanym jako , gdzie jest $}}$ $}$ rozciągnięta długość i $.$ oryginalna nierozciągnięta długość Ciśnienie jest określane na podstawie nieściśliwości i warunków brzegowych $σ$ $\ Displaystyle \ sigma _ {2} = \ sigma _ {3} = 0$ , dając:

${\ Displaystyle \ sigma _ {1} = \ suma _ {p = 1} ^ {N} \ mu _ {p} \left(\lambda ^{\alpha _{p}}-\lambda ^{-{\frac {1}{2}}\alpha _{p}}\right)}$ .

Równo-dwuosiowe napięcie

Biorąc pod uwagę nieściśliwy materiał pod naprężeniem równoosiowym ${\ Displaystyle \ lambda _ {1} = \ lambda _ {2} = {\ Frac {l} {l_ {0}}}}$ . Ciśnienie $= 0}$ na podstawie nieściśliwości, a warunek brzegowy : p {\ $displaystyle \ sigma$

${\ Displaystyle \ sigma _ {1} = \ sigma _ {2} = \ suma _ {p = 1} ^ {N}\mu _{p}\left(\lambda ^{\alpha _{p}}-\lambda ^{-2\alpha _{p}}\right)}$ .

Inne modele hiperelastyczne

W przypadku gumy i materiałów biologicznych konieczne są bardziej wyrafinowane modele. Takie materiały mogą wykazywać nieliniowe zachowanie naprężenie-odkształcenie przy niewielkich odkształceniach lub są elastyczne aż do ogromnych odkształceń. Te złożone nieliniowe zachowania naprężenia i odkształcenia muszą być uwzględnione przez specjalnie dostosowane funkcje gęstości odkształcenia i energii.

Najprostszym z tych hipersprężystych modeli jest bryła Neo-Hookean .

${\ Displaystyle W (\ mathbf {C}) = {\ Frac {\ mu} {2}} (I_ {1} ^ {C} -3)}$

gdzie jest $ścinania$ , który można wyznaczyć eksperymentalnie. Z eksperymentów wiadomo, że dla materiałów gumowatych przy umiarkowanym naprężeniu do 30–70% model Neo-Hookean zwykle dopasowuje zachowanie materiału z wystarczającą dokładnością. Aby modelować gumę przy dużych odkształceniach, jednoparametryczny model Neo-Hookean jest zastępowany bardziej ogólnymi modelami, takimi jak bryła Mooneya $.$ Rivlina, w której energia odkształcenia jest liniową kombinacją dwóch niezmienników

${\ Displaystyle W (\ mathbf {C}) = {\ Frac {\ mu _ {1}} { 2}}\left(I_{1}^{C}-3\right)-{\frac {\mu _{2}}{2}}\left(I_{2}^{C}-3\right )}$

Materiał Mooney-Rivlin został pierwotnie opracowany również dla gumy, ale obecnie jest często stosowany do modelowania (nieściśliwej) tkanki biologicznej. Do modelowania materiałów gumowych i biologicznych przy jeszcze większych obciążeniach opracowano bardziej wyrafinowany model materiałowy Ogdena .

^ Ogden, RW, (1972). Elastyczność izotropowa dużego odkształcenia - o korelacji teorii i eksperymentu dla nieściśliwych ciał stałych podobnych do gumy , Proceedings of the Royal Society of London. Seria A, nauki matematyczne i fizyczne, tom. 326, nr 1567 (1 II 1972), s. 565–584.

F. Cirak: Notatki do wykładu dla 5R14: Nieliniowa mechanika ciała stałego , University of Cambridge.
RW Ogden: Nieliniowe odkształcenia sprężyste , ISBN 0-486-69648-0

[1] Ogden, RW, (1972). Elastyczność izotropowa dużego odkształcenia - o korelacji teorii i eksperymentu dla nieściśliwych ciał stałych podobnych do gumy , Proceedings of the Royal Society of London. Seria A, nauki matematyczne i fizyczne, tom. 326, nr 1567 (1 II 1972), s. 565–584.