Model minimalny (teoria mnogości)
W teorii mnogości , gałęzi matematyki, model minimalny jest minimalnym standardowym modelem ZFC . Model minimalny został wprowadzony przez Shepherdsona ( 1951 , 1952 , 1953 ) i ponownie odkryty przez Cohena (1963) .
Istnienia modelu minimalnego nie można udowodnić w ZFC , nawet zakładając, że ZFC jest niesprzeczne , ale wynika z istnienia modelu standardowego w następujący sposób. Jeśli istnieje zbiór W we wszechświecie von Neumanna V, który jest standardowym modelem ZF, a liczba porządkowa κ jest zbiorem liczb porządkowych, które występują w W , to L κ jest klasą konstruowalnych zbiorów W . Jeśli istnieje zbiór, który jest standardowym modelem ZF, to najmniejszym takim zbiorem jest taki L κ . Zbiór ten nazywany jest minimalnym modelem ZFC i spełnia również aksjomat konstrukcyjności V=L. Twierdzenie Löwenheima-Skolema skierowane w dół implikuje, że model minimalny (jeśli istnieje jako zbiór) jest zbiorem przeliczalnym . Dokładniej, każdy element s modelu minimalnego może być nazwany; innymi słowy istnieje zdanie pierwszego rzędu φ ( x ) takie, że s jest unikalnym elementem modelu minimalnego, dla którego φ ( s ) jest prawdziwe.
Cohen (1963) podał inną konstrukcję modelu minimalnego jako silnie konstruowalne zbiory, używając zmodyfikowanej formy konstruowalnego wszechświata Gödla.
Oczywiście każda spójna teoria musi mieć model, więc nawet w ramach minimalnego modelu teorii mnogości istnieją zbiory, które są modelami ZFC (zakładając, że ZFC jest niesprzeczne). Jednak te zestawy modeli są niestandardowe. W szczególności nie stosują normalnej relacji przynależności i nie są zasadne.
Jeśli nie ma modelu standardowego, to model minimalny nie może istnieć jako zbiór. Jednak w tym przypadku klasa wszystkich konstruowalnych zbiorów pełni taką samą rolę jak model minimalny i ma podobne właściwości (chociaż jest teraz klasą właściwą, a nie zbiorem policzalnym).
Minimalny model teorii mnogości nie ma innych modeli wewnętrznych niż on sam. W szczególności nie jest możliwe użycie metody modeli wewnętrznych do udowodnienia, że jakiekolwiek zdanie prawdziwe w modelu minimalnym (takim jak hipoteza kontinuum ) nie jest dowodliwe w ZFC.
- Cohen, Paul J. (1963), „Minimalny model teorii mnogości”, Bull. Amer. Matematyka soc. , 69 : 537–540, doi : 10.1090/S0002-9904-1963-10989-1 , MR 0150036
- Shepherdson, JC (1951), „Wewnętrzne modele teorii mnogości. I” (PDF) , The Journal of Symbolic Logic , Association for Symbolic Logic , 16 (3): 161–190, doi : 10,2307/2266389 , JSTOR 2266389 , MR 0045073
- Shepherdson, JC (1952), „Wewnętrzne modele teorii mnogości. II”, The Journal of Symbolic Logic , Association for Symbolic Logic, 17 (4): 225–237, doi : 10,2307/2266609 , JSTOR 2266609 , MR 0053885
- Shepherdson, JC (1953), „Wewnętrzne modele teorii mnogości. III”, The Journal of Symbolic Logic , Association for Symbolic Logic, 18 (2): 145–167, doi : 10,2307/2268947 , JSTOR 2268947 , MR 0057828