Monostatyczny politop

W geometrii monostatyczny wielościan ( lub niestabilny wielościan ) to d - polytop , który „może stać tylko na jednej ścianie”. Zostały one opisane w 1969 roku przez JH Conwaya , M. Goldberga, RK Guya i KC Knowltona . Monostatyczny polytop w przestrzeni trójwymiarowej skonstruowany niezależnie przez Guya i Knowltona ma 19 ścian . W 2012 roku Andras Bezdek odkrył rozwiązanie z 18 ścianami, aw 2014 roku Alex Reshetov opublikował obiekt z 14 ścianami.

Model 3D monostatycznego wielościanu RK Guya

Model 3D monostatycznego wielościanu Reshetova

Definicja

Polytope nazywamy monostatycznymi, jeśli po jednorodnym wypełnieniu są stabilne tylko z jednej strony . Alternatywnie, polytope jest monostatyczny, jeśli jego środek ciężkości ( środek masy ) ma ortogonalny rzut we wnętrzu tylko jednej ścianki.

Nieruchomości

Żaden wielokąt wypukły na płaszczyźnie nie jest monostatyczny. Zostało to pokazane przez V. Arnolda poprzez redukcję do twierdzenia o czterech wierzchołkach .
W wymiarze do 8 nie ma uproszczeń monostatycznych. W wymiarze 3 jest to spowodowane Conwayem. W wymiarze do 6 jest to zasługą RJM Dawson. Wymiary 7 i 8 zostały wykluczone przez RJM Dawson, W. Finbow i P. Mak.
(RJM Dawson) Istnieją uproszczenia monostatyczne w wymiarze 10 i wyższym.
(Lángi) Istnieją monostatyczne polytopy w wymiarze 3, których kształty są dowolnie zbliżone do kuli.
(Lángi) Istnieją monostatyczne polytopy w wymiarze 3 z k-krotną symetrią obrotową dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej k.

Zobacz też

JH Conway , M. Goldberg i RK Guy , Problem 66-12, SIAM Review 11 (1969), 78–82.
KC Knowlton , Niestabilny wielościan z zaledwie 19 ścianami, Bell Telephone Laboratories MM 69-1371-3 (3 stycznia 1969).
H. Croft, K. Falconer i RK Guy, Problem B12 w Unsolved Problems in Geometry , New York: Springer-Verlag, s. 61, 1991.
RJM Dawson, Monostatyczne simpleksy. Amer. Matematyka Miesięcznik 92 (1985), nr. 8, 541–546.
RJM Dawson, W. Finbow, P. Mak, Monostatic simplexes. II. Geom. Dedicata 70 (1998), 209–219.
RJM Dawson, W. Finbow, Monostatyczne simpleksy. III. Geom. Dedicata 84 (2001), 101–113.
Z. Lángi, Rozwiązanie niektórych problemów Conwaya i Guya na wielościanach monostabilnych, Bull. Londyn. Matematyka soc. 54 (2022), no. 2, 501–516.
Igor Pak , Wykłady z geometrii dyskretnej i wielościennej , rozdział 9.
A. Reshetov, Niestabilny wielościan o 14 ścianach. Int. J. Komputer. Geom. Aplikacja 24 (2014), 39–60.

Linki zewnętrzne