Twierdzenie o czterech wierzchołkach
Twierdzenie geometrii o czterech wierzchołkach stwierdza, że krzywizna wzdłuż prostej, zamkniętej, gładkiej płaskiej krzywej ma co najmniej cztery lokalne ekstrema (w szczególności co najmniej dwa lokalne maksima i co najmniej dwa lokalne minima). Nazwa twierdzenia wywodzi się z konwencji nazywania skrajnego punktu funkcji krzywizny wierzchołkiem . Twierdzenie to ma wiele uogólnień, w tym wersję dla krzywych przestrzennych , w której wierzchołek jest zdefiniowany jako punkt zanikającego skręcania .
Definicja i przykłady
Krzywiznę w dowolnym punkcie gładkiej krzywej na płaszczyźnie można zdefiniować jako odwrotność promienia koła oscylującego w tym punkcie lub jako normę drugiej pochodnej parametrycznej reprezentacji krzywej, sparametryzowanej zgodnie z długością wzdłuż krzywej . Aby wierzchołki krzywej były dobrze zdefiniowane, sama krzywizna powinna zmieniać się w sposób ciągły, tak jak dzieje się to w przypadku krzywych gładkości do 2 . Wierzchołek jest wtedy lokalnym maksimum lub lokalnym minimum krzywizny. Jeśli krzywizna jest stała na łuku krzywej, wszystkie punkty tego łuku są uważane za wierzchołki. Twierdzenie o czterech wierzchołkach mówi, że gładka krzywa zamknięta ma zawsze co najmniej cztery wierzchołki.
Elipsa ma dokładnie cztery wierzchołki: dwa lokalne maksima krzywizny w miejscu przecięcia przez większą oś elipsy oraz dwa lokalne minima krzywizny w miejscu przecięcia przez mniejszą oś . W okręgu każdy punkt jest zarówno lokalnym maksimum, jak i lokalnym minimum krzywizny, więc wierzchołków jest nieskończenie wiele.
Każda krzywa o stałej szerokości ma co najmniej sześć wierzchołków. Chociaż wiele krzywych o stałej szerokości, takich jak trójkąt Reuleaux , nie jest gładkich lub ma na swoich granicach łuki kołowe, istnieją gładkie krzywe o stałej szerokości, które mają dokładnie sześć wierzchołków.
Historia
Twierdzenie o czterech wierzchołkach zostało po raz pierwszy udowodnione dla krzywych wypukłych (tj. krzywych o ściśle dodatniej krzywiźnie) w 1909 roku przez Syamadasa Mukhopadhyaya . Jego dowód wykorzystuje fakt, że punkt na krzywej jest ekstremum funkcji krzywizny wtedy i tylko wtedy, gdy oscylujący okrąg w tym punkcie ma kontakt czwartego rzędu z krzywą; ogólnie koło oscylacyjne ma kontakt tylko trzeciego rzędu z krzywą. Twierdzenie o czterech wierzchołkach zostało udowodnione dla bardziej ogólnych krzywych przez Adolfa Knesera w 1912 r. Przy użyciu argumentu rzutowego.
Dowód
Przez wiele lat dowód twierdzenia o czterech wierzchołkach pozostawał trudny, ale prosty i koncepcyjny dowód został przedstawiony przez Ossermana (1985) w oparciu o ideę najmniejszego okręgu otaczającego . Jest to okrąg, który zawiera daną krzywą i ma najmniejszy możliwy promień. Jeśli krzywa zawiera łuk koła, to ma nieskończenie wiele wierzchołków. W przeciwnym razie krzywa i okrąg muszą być styczne co najmniej dwa punkty, ponieważ okrąg, który stykał się z krzywą w mniejszej liczbie punktów, można zmniejszyć, jednocześnie go obejmując. Przy każdej styczności krzywizna krzywej jest większa niż krzywizna okręgu, ponieważ w przeciwnym razie krzywa przebiegałaby dalej od styczności na zewnątrz okręgu, a nie wewnątrz. Jednakże między każdą parą stycznych krzywizna musi się zmniejszyć do wartości mniejszej niż krzywizna koła, na przykład w punkcie uzyskanym przez przesunięcie okręgu do momentu, w którym nie będzie już zawierał żadnej części krzywej między dwoma punktami styczności i biorąc pod uwagę ostatni punkt styku przesuniętego okręgu z krzywą. Dlatego między każdą parą stycznych istnieje lokalne minimum krzywizny, dające dwa z czterech wierzchołków. Pomiędzy każdą parą minimów lokalnych (niekoniecznie w punktach styczności) musi istnieć lokalne maksimum krzywizny, dające pozostałe dwa wierzchołki.
Rozmawiać
Odwrotność twierdzenia o czterech wierzchołkach stwierdza, że każda ciągła funkcja koła o wartościach rzeczywistych, która ma co najmniej dwa lokalne maksima i dwa lokalne minima, jest funkcją krzywizny prostej, zamkniętej krzywej płaskiej. Odwrotność została udowodniona dla funkcji ściśle dodatnich w 1971 roku przez Hermana Glucka jako szczególny przypadek ogólnego twierdzenia o wstępnym przypisywaniu krzywizny n -sfer . Pełna odwrotność twierdzenia o czterech wierzchołkach została udowodniona przez Björna Dahlberga na krótko przed jego śmiercią w styczniu 1998 r. I opublikowana pośmiertnie. Dowód Dahlberga wykorzystuje liczbę uzwojenia argument, który pod pewnymi względami przypomina standardowy topologiczny dowód podstawowego twierdzenia algebry .
Zastosowanie w mechanice
Jednym z następstw tego twierdzenia jest to, że jednorodny, płaski dysk toczący się pod wpływem grawitacji po poziomej powierzchni ma co najmniej 4 punkty równowagi. Dyskretna wersja tego jest taka, że nie może istnieć wielokąt monostatyczny . Jednak w trzech wymiarach istnieją monostatyczne wielościany, a także istnieje wypukły, jednorodny obiekt z dokładnie dwoma punktami równowagi (jeden stabilny, a drugi niestabilny), Gömböc .
Dyskretne odmiany
Istnieje kilka dyskretnych wersji twierdzenia o czterech wierzchołkach, zarówno dla wypukłych, jak i niewypukłych wielokątów. Tutaj jest kilka z nich:
- ( Biliński ) Ciąg kątów wypukłego wielokąta równobocznego o co najmniej czterech wierzchołkach ma co najmniej cztery ekstrema .
- Sekwencja długości boków wypukłego wielokąta równokątnego o co najmniej czterech bokach ma co najmniej cztery ekstrema .
- (Musin) Okrąg opisany na trzech kolejnych wierzchołkach wielokąta z co najmniej czterema wierzchołkami nazywamy ekstremalnym , jeśli zawiera wszystkie pozostałe wierzchołki wielokąta lub nie ma żadnego z nich w swoim wnętrzu. Taki wypukły wielokąt jest ogólny , jeśli nie ma czterech wierzchołków na tym samym okręgu. Wtedy każdy ogólny wielokąt wypukły z co najmniej czterema wierzchołkami ma co najmniej cztery skrajne okręgi.
- ( Legendre – Cauchy ) Dwa n -kąty wypukłe o równej długości boku mają zero lub co najmniej 4 zmiany znaku w cyklicznej sekwencji odpowiednich różnic kątów.
- ( AD Aleksandrow ) Dwa wypukłe n -kąty o równoległych odpowiednich bokach i równym polu mają zero lub co najmniej 4 zmiany znaku w cyklicznej sekwencji odpowiednich różnic długości boków.
Niektóre z tych odmian są silniejsze niż inne, a wszystkie implikują (zwykłe) twierdzenie o czterech wierzchołkach przez argument graniczny.
Uogólnienia do krzywej przestrzennej
Rzut stereograficzny z raz przebitej kuli na płaszczyznę zachowuje krytyczne punkty krzywizny geodezyjnej . Zatem proste zamknięte sferyczne krzywe mają cztery wierzchołki. Ponadto na kuli wierzchołki krzywej odpowiadają punktom, w których zanika jej skręcenie . Tak więc dla krzywych przestrzennych wierzchołek definiuje się jako punkt zanikającego skręcania. Każda prosta krzywa w przestrzeni zamkniętej, która leży na granicy bryły wypukłej, ma cztery wierzchołki. Twierdzenie to można uogólnić na wszystkie krzywe, które ograniczają dysk lokalnie wypukły.