Najmniej przycięte kwadraty

Najmniej przycięte kwadraty ( LTS ) lub najmniej obcięta suma kwadratów to solidna metoda statystyczna , która dopasowuje funkcję do zestawu danych, nie będąc nadmiernie obciążona obecnością wartości odstających . Jest to jedna z wielu metod odpornej regresji .

Opis metody

Zamiast standardowej metody najmniejszych kwadratów , która minimalizuje sumę kwadratów reszt na n punktach, metoda LTS próbuje zminimalizować sumę kwadratów reszt na podzbiorze $punktów$ . Niewykorzystane $.$ nie wpływają

W standardowym problemie najmniejszych kwadratów oszacowane wartości parametrów β są zdefiniowane jako te wartości, które minimalizują funkcję celu S (β) kwadratów reszt:

${\ Displaystyle S = \ suma _ {i = 1} ^ {n} r_ {i} (\ beta) ^ {2},}$

gdzie reszty definiuje się jako różnice między wartościami zmiennych zależnych (obserwacji) a wartościami modelu:

${\ Displaystyle r_ {i} (\ beta) = y_ {i} -f (x_ {i}, \ beta),}$

i gdzie n jest całkowitą liczbą punktów danych. W przypadku analizy najmniejszych kwadratów ta funkcja celu jest zastępowana funkcją zbudowaną w następujący sposób. Dla ustalonej wartości β niech $zbiór$ wartości bezwzględnych reszt (w kolejności W tym zapisie standardowa funkcja sumy kwadratów wynosi

${\ Displaystyle S (\ beta) = \ suma _ {j = 1} ^ {n} r_ {(j)} (\ beta) ^{2},}$

podczas gdy funkcja celu dla LTS to

${\ Displaystyle S_ {k} (\ beta) = \ suma _ {j = 1} ^ {k} r_ {(j)} (\ beta) ^ {2}.}$

Rozważania obliczeniowe

Ponieważ ta metoda jest binarna, w której punkty są uwzględniane lub wykluczane, nie istnieje żadne rozwiązanie w postaci zamkniętej. W rezultacie metody znajdowania rozwiązania LTS przesiewają kombinacje danych, próbując znaleźć k , który daje najniższą sumę kwadratów reszt. Istnieją metody dla niskich n , które pozwolą znaleźć dokładne rozwiązanie; jednak wraz ze n liczba kombinacji szybko rośnie, dając w ten sposób metody, które próbują znaleźć przybliżone (ale ogólnie wystarczające) rozwiązania.

•   Rousseeuw, PJ (1984). „Regresja najmniejszej mediany kwadratów”. Dziennik Amerykańskiego Towarzystwa Statystycznego . 79 (388): 871–880. doi : 10.1080/01621459.1984.10477105 . JSTOR 2288718 .
•   Rousseeuw, PJ; Leroy AM (2005) [1987]. Odporna regresja i wykrywanie wartości odstających . Wileya. doi : 10.1002/0471725382 . ISBN 978-0-471-85233-9 .
• Li, LM (2005). „Algorytm obliczania dokładnego oszacowania najmniejszych kwadratów prostej regresji liniowej z ograniczeniami”. Statystyka obliczeniowa i analiza danych . 48 (4): 717–734. doi : 10.1016/j.csda.2004.04.003 .
• Atkinson, AC; Cheng, T.-C. (1999). „Obliczanie regresji metodą najmniejszych przyciętych kwadratów z wyszukiwaniem do przodu”. Statystyka i informatyka . 9 (4): 251–263. doi : 10.1023/A:1008942604045 .
• Jung, Kang-Mo (2007). „Estymator najmniejszych przyciętych kwadratów w modelu błędów w zmiennych”. Dziennik statystyki stosowanej . 34 (3): 331–338. doi : 10.1080/02664760601004973 .