Nieliniowy problem własny

W matematyce nieliniowy problem własny , czasami nieliniowy problem wartości własnej , jest uogólnieniem (zwykłego) problemu wartości własnej do równań, które zależą nieliniowo od wartości własnej. W szczególności odnosi się do równań postaci

${\ Displaystyle M (\ lambda) x = 0,}$

gdzie $.$ , a jest funkcją $}$ o wartościach macierzowych λ $lambda$ \ displaystyle \ Liczba $jest$ znana jako (nieliniowa) $nieliniowy$ , wektor jako ( ) wektor własny i ${\ Displaystyle (\ lambda, x)}$ jako para własna . Macierz $\ Displaystyle M (\ lambda)$ pojedyncza w wartości własnej . ${$ }

Definicja

W dyscyplinie numerycznej algebry liniowej zwykle stosuje się następującą definicję.

Niech ${\ Displaystyle \ Omega \ subseteq \ mathbb {C}}$ i niech $\ Displaystyle M: ​​\ Omega \ rightarrow \ mathbb {C} ^ {n \ razy n}}$ będzie funkcją odwzorowującą skalary na macierze. λ ${\ Displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}}$ nazywa się wartością własną , a wektor niezerowy nazywa się $C} ^ {n}}$ prawy wektor własny , jeśli ${\ Displaystyle M (\ lambda) x = 0}$ . Ponadto niezerowy wektor $jest$ lewym wektorem własnym jeśli $M ($ , gdzie indeks górny oznacza transpozycję hermitowską ${\ displaystyle ^ {H}}$ . Definicja wartości własnej jest równoważna ${\ Displaystyle \ det (M (\ lambda)) = 0}$ , gdzie ${\ Displaystyle \ det ()}$ oznacza wyznacznik .

$funkcja$$)$ się, aby była funkcją holomorficzną $domenie$ w pewnej .

Ogólnie rzecz biorąc, może to być $mapa$ liniowa , ale najczęściej jest to macierz o skończonych wymiarach

Definicja: Mówi się, że problem jest regularny , jeśli istnieje taki, że $\$$\ det (M (z)) \ neq 0} za z ∈ Ω {\ Displaystyle z \ in \$ . W przeciwnym razie mówi się, że jest pojedyncza .

Definicja: Mówi się $}$ że wartość własna $algebraiczną$ krotność , \ $))}$ k $k$$displaystyle$ jest najmniejszą liczbą całkowitą taką, że pochodna det $z$ w odniesieniu do λ $Displaystyle \ lambda}$ jest różny od zera. We wzorach, które ${\ Displaystyle \ lewo. {\ Frac {d ^ {k} \ det (M (z))} dz ^ {k}}} \ prawo | _ {z = \ lambda} \ neq 0}$ ale ${\ Displaystyle \ lewo. {\ Frac {d ^ {\ ell} \ det (M (z))} dz ^ {\ ell}}} \ prawo | _ {z = \ lambda} = 0 }$ dla ${\ Displaystyle \ ell = 0,1,2, \ kropki, k-1}$ .

$M (\ lambda)}$ : Krotność geometryczna wartości własnej jest wymiarem przestrzeni zerowej M $Displaystyle$ .

Przypadki specjalne

Poniższe przykłady są szczególnymi przypadkami nieliniowego problemu własnego.

• (Zwykły) problem z wartością własną : ${\ Displaystyle M (\ lambda) = A- \ lambda I.}$
• Uogólniony problem wartości własnej : ${\ Displaystyle M (\ lambda) = A- \ lambda B.}$
• Kwadratowy problem wartości własnej : ${\ Displaystyle M (\ lambda) = A_ {0} + \ lambda A_ {1} + \ lambda ^ {2} A_ {2}.}$
• Wielomianowy problem wartości własnej: ${\ Displaystyle M (\ lambda) = \ suma _ {i = 0} ^ {m} \ lambda ^ {i} A_ {i}.}$
• Racjonalny problem wartości własnej: ${\ Displaystyle M (\ lambda) = \ suma _ {i = 0 }^{m_{1}}A_{i}\lambda ^{i}+\sum _{i=1}^{m_{2}}B_{i}r_{i}(\lambda ),}$ gdzie ${\ Displaystyle r_ {i} (\ lambda)}$ są funkcje wymierne .
• Problem wartości własnej opóźnienia : $Displaystyle M (\ lambda) = - ja \ lambda + A_ {0} + \ suma _ {i = 1} ^ {m} A_ {i} e ^ {- \ tau _ {i} \ lambda},} gdzie τ 1 , τ 2 ,$ … $, \tau _{2},\kropki,\tau _{m}}$ podane są skalary, zwane opóźnieniami.

Łańcuchy Jordana

$_$ : Niech _ Krotka wektorów ${\ Displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, \ kropki, x_ {r-1 })\in \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\times \dots \times \mathbb {C} ^{n}} nazywamy$ łańcuchem Jordana Jeśli

$${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ ell} M ^ {(k)} (\ lambda _ {0}) x_ { \ell -k}=0,}$$

dla ${\ Displaystyle \ ell = 0,1, \ kropki, r-1}$ , gdzie ${\ Displaystyle M ^ {(k)} (\ lambda _ {0}}}$ oznacza $Displaystyle$ pochodną $M}$ w odniesieniu do i ocenianą w $Displaystyle$$\ lambda = \ lambda _ {$ . Wektory ${\ Displaystyle x_ {0}, x_ {1}, \ kropki, x_ {r-1}}$ nazywane są uogólnionymi wektorami własnymi , ${\ displaystyle r}$ długość $x_ {0}}$ Jordana i maksymalna długość łańcucha Jordana zaczynającego się od jest nazywana rangą $displaystyle$ .

Twierdzenie: Krotka wektorów ${\ Displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, \ kropki, x_ {r -1})\in \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\times \dots \times \mathbb {C} ^{n}} jest łańcuchem Jordana wtedy i tylko wtedy,$ gdy funkcja ${\ Displaystyle M (\ lambda) \ chi _ {\ ell} (\ lambda)}$ ma pierwiastek w ${\ Displaystyle \ lambda = \ lambda _ {0}},$ a pierwiastek ma co najmniej krotność ${ \ Displaystyle \ ell}$ dla ${\ Displaystyle \ ell = 0,1, \ kropki, r-1}$ , gdzie funkcja o wartościach wektorowych ${\ Displaystyle \ chi _ {\ell}(\lambda)}$ jest zdefiniowany jako

$${\ Displaystyle \ chi _ {\ ell} (\ lambda) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ ell} x_ {k} (\ lambda - \ lambda _ {0}) ^ {k}.}$$

Oprogramowanie matematyczne

• Pakiet solwera wartości własnych SLEPc zawiera implementacje C wielu metod numerycznych dla nieliniowych problemów z wartościami własnymi.
• Kolekcja NLEVP nieliniowych problemów z wartościami własnymi to pakiet MATLAB zawierający wiele nieliniowych problemów z wartościami własnymi o różnych właściwościach.
• Solver wartości własnej FEAST to pakiet oprogramowania do standardowych problemów z wartościami własnymi, a także nieliniowych problemów z wartościami własnymi, zaprojektowany na podstawie reprezentacji macierzy gęstości w mechanice kwantowej w połączeniu z technikami całkowania konturów.
• Zestaw narzędzi MATLAB NLEIGS zawiera implementację w pełni racjonalnego Kryłowa z dynamicznie konstruowanym racjonalnym interpolantem.
• Zestaw narzędzi MATLAB CORK zawiera implementację zwartego racjonalnego algorytmu Kryłowa, który wykorzystuje strukturę ołówków linearyzacyjnych Kroneckera .
• Zestaw narzędzi MATLAB AAA-EIGS zawiera implementację CORK z racjonalnym przybliżeniem przez AAA o wartościach zadanych.
• Zestaw narzędzi MATLAB RKToolbox (Rational Krylov Toolbox) zawiera implementacje racjonalnej metody Kryłowa dla nieliniowych problemów z wartościami własnymi, a także funkcje racjonalnego przybliżenia .
• Pakiet Julii NEP-PACK zawiera wiele implementacji różnych metod numerycznych dla nieliniowych problemów z wartościami własnymi, a także wiele problemów wzorcowych .
• Artykuł przeglądowy Güttel & Tisseur zawiera fragmenty kodu MATLAB implementujące podstawowe metody typu Newtona i metody całkowania konturów dla nieliniowych problemów własnych.

Nieliniowość wektora własnego

Nieliniowości wektorów własnych to pokrewna, ale inna forma nieliniowości, która jest czasami badana. W tym przypadku funkcja $odwzorowuje$ wektory na macierze lub czasami macierze hermitowskie macierze hermitowskie.

Dalsza lektura

• Françoise Tisseur i Karl Meerbergen, „Kwadratowy problem wartości własnej”, SIAM Review 43 (2), 235–286 (2001) ( link ).
• Gene H. Golub i Henk A. van der Vorst, „Obliczanie wartości własnych w XX wieku”, Journal of Computational and Applied Mathematics 123 , 35–65 (2000).
• Philippe Guillaume, „Nieliniowe problemy własne”, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 20 (3), 575–595 (1999) ( link ).
• Cedric Effenberger, „ Solidne metody rozwiązywania nieliniowych problemów z wartością własną ”, praca doktorska EPFL (2013) ( link )
• Roel Van Beeumen, „ Racjonalne metody Kryłowa dla nieliniowych problemów własnych ”, praca doktorska KU Leuven (2015) ( link )