Nierówność Jørgensena

W matematycznej teorii grup Kleinowskich nierówność Jørgensena jest nierównością zawierającą ślady elementów grupy Kleinowskiej , udowodnioną przez Troelsa Jørgensena ( 1976 ) .

Nierówność stwierdza, że ​​jeśli A i B generują nieelementarną dyskretną podgrupę SL ₂ ( C ), to

${\ Displaystyle \ lewo | \ nazwa operatora {Tr} (A) ^ {2} -4 \ prawo | + \ lewo | \ nazwa operatora {Tr} \ lewo (ABA ^ {-1} B ^ {-1} \right)-2\right|\geq 1.\,}$

Nierówność daje ilościowe oszacowanie nieciągłości grupy: wiele standardowych wniosków ogranicza elementy grupy z dala od tożsamości. Na przykład, jeśli A jest paraboliczne , to

${\ Displaystyle \ lewo \ | AI \ prawo \ |\ \ lewo \ | BI \ prawo \ | \ geq 1 \,}$

gdzie oznacza zwykłą normę $do$ SL ₂ .

Inną konsekwencją w przypadku parabolicznym jest istnienie sąsiedztwa wierzchołków w hiperbolicznych 3-rozmaitościach : jeśli G jest grupą Kleina, a j jest elementem parabolicznym G ze stałym punktem w , to istnieje horoball oparty na w , który rzutuje na wierzchołek sąsiedztwo w przestrzeni ilorazowej ${\ Displaystyle \ mathbb {H} ^ {3} / G}$ . Nierówność Jørgensena służy do udowodnienia, że ​​każdy element G który nie ma stałego punktu w w , przesuwa horoball całkowicie z siebie, a więc nie wpływa na lokalną geometrię ilorazu w w ; intuicyjnie geometria jest całkowicie zdeterminowana przez element paraboliczny.

Zobacz też

• Lemat Margulisa jest jakościowym uogólnieniem na bardziej ogólne przestrzenie o ujemnej krzywiźnie.