Okolice Cuspa

W matematyce sąsiedztwo wierzchołków definiuje się jako zbiór punktów w pobliżu osobliwości wierzchołków .

Sąsiedztwo wierzchołków dla powierzchni Riemanna

Sąsiedztwo wierzchołków hiperbolicznej powierzchni Riemanna można zdefiniować za pomocą jej modelu fuchsowskiego .

Załóżmy, że grupa Fuchsa G zawiera element paraboliczny g. Na przykład element t ∈ SL(2, Z ) gdzie

${\ Displaystyle t (z) = {\ początek {pmatrix} 1 i 1 \\ 0 i 1 \ koniec {pmatrix}} :z={\frac {1\cdot z+1}{0\cdot z+1}}=z+1}$

jest elementem parabolicznym. Zauważ, że wszystkie elementy paraboliczne SL(2, C ) są sprzężone z tym elementem. To znaczy, jeśli sol ∈ SL (2, Z ) jest paraboliczny, to przez jakiś h ∈ SL (2, Z ) ${\ Displaystyle g = h ^ {-1} th}$ .

Zbiór

${\ Displaystyle U = \ {z \ w \ mathbf {H}: \ im z> 1 \}}$

gdzie H jest górną półpłaszczyzną ma

${\ Displaystyle \ gamma (U) \ czapka U = \ pusty zestaw}$

dla dowolnego ${\ Displaystyle \ gamma \ w G- \ langle g \ rangle}$$\ Displaystyle \ langle g \ rangle}$ sol oznacza grupę generowaną przez g . Oznacza to, że γ działa prawidłowo w sposób nieciągły na U . Z tego powodu można zauważyć, że rzut U na H / G jest taki

${\ Displaystyle E = U / \ langle g \ rangle}$ .

Tutaj E nazywa się sąsiedztwem wierzchołka odpowiadającego g .

Zauważ, że hiperboliczny obszar E wynosi dokładnie 1, gdy jest obliczany przy użyciu kanonicznej metryki Poincarégo . Najłatwiej to zobaczyć na przykładzie: rozważ przecięcie U zdefiniowanego powyżej z domeną podstawową

${\ Displaystyle \ lewo \ {z \ w H: \ lewo | z \ prawo |> 1, \, \ lewo | \, {\ mbox {Re}} (z) \, \ prawo | <{{ \frac {1}{2}}\right\}}$

grupy modułowej , co byłoby właściwe dla wyboru T jako elementu parabolicznego. Po zintegrowaniu z elementem głośności

${\ Displaystyle d \ mu = {\ Frac {dxdy} {y ^ {2}}}}$

wynikiem jest trywialnie 1. Obszary wszystkich sąsiedztw wierzchołków są równe temu, przez niezmienność obszaru podlegającego koniugacji.