Nierówność Levinsona

W matematyce nierówność Levinsona jest następującą nierównością ze względu na Normana Levinsona , obejmującą liczby dodatnie. Niech i niech $\$ daną funkcją mającą trzecią pochodną w przedziale $Displaystyle (0,2a)}$$displaystyle a> 0$ i taką, że za > {\

${\ Displaystyle f ''' (x) \ geq 0}$

dla wszystkich ${\ Displaystyle x \ w (0,2a)}$ . Załóżmy, że ${\ Displaystyle 0 <x_ {i} \ równoważnik a}$ i ${\ Displaystyle 0 < p_ {i}}$ dla ${\ Displaystyle i = 1, \ ldots ,n}$ . Następnie

${\ Displaystyle {\ Frac {\ suma _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} f (x_ {i})} {\ suma _ {i = 1} ^ {n} p_ {i}}} -f\left({\frac {\suma _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}}{\suma _{i=1}^{n}p_{i}}}\ po prawej)\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}f(2a-x_{i})}{\sum _{i=1}^{n}p_{i }}}-f\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}(2a-x_{i})}{\sum _{i=1}^{n} p_{i}}}\prawo).}$

Ky Fana jest szczególnym przypadkiem nierówności Levinsona, gdzie

${\ Displaystyle p_ {i} = 1, \ a = {\ Frac {1} {2}}, {\ tekst {i}} f (x) = \ log x.}$

• Scott Lawrence i Daniel Segalman: Uogólnienie dwóch nierówności z udziałem środków , Proceedings of the American Mathematical Society. Tom 35 nr 1, wrzesień 1972.
• Norman Levinson : Uogólnienie nierówności Ky Fana , Journal of Mathematical Analysis and Applications. Tom 8 (1964), 133–134.