Ten artykuł dotyczy nierówności Weyla w algebrze liniowej. Nierówność Weyla w teorii liczb można znaleźć w artykule Nierówność Weyla (teoria liczb) .
W algebrze liniowej nierówność Weyla jest twierdzeniem o zmianach wartości własnych zaburzonej macierzy hermitowskiej . Można go użyć do oszacowania wartości własnych zaburzonej macierzy hermitowskiej.
Niech i będą n × n macierzami hermitowskimi z ich odpowiednimi wartościami własnymi uporządkowane w następujący sposób:
Wtedy zachodzą następujące nierówności:
i, bardziej ogólnie,
, jeśli jest dodatnio określony, to wstawienie nierówności prowadzi do
Zauważ, że te wartości własne można uporządkować, ponieważ są one rzeczywiste (jako wartości własne macierzy hermitowskich).
Nierówność Weyla między wartościami własnymi a wartościami osobliwymi
Niech mają wartości osobliwe i wartości własne uporządkowane tak, że . Następnie
k , z równością dla .
Aplikacje
Szacowanie zaburzeń widma
Załóżmy, że jest mały w tym sensie, że jego norma widmowa spełnia małego . Wynika z tego, że wszystkie wartości własne ograniczone wartością bezwzględną przez . Stosując nierówność Weyla wynika, że widma macierzy hermitowskich M i N są bliskie w tym sensie
Należy jednak zauważyć, że ta granica zaburzeń wartości własnej jest generalnie fałszywa dla macierzy niehermitowskich (lub dokładniej dla macierzy innych niż normalne). Dla kontrprzykładu niech i rozważmy
których wartości własne i nie spełniają .
Nierówność Weyla dla wartości osobliwych
Niech macierzą z } Jego wartości to własne Rozszerzona macierz hermitowska
Dlatego nierówność perturbacji wartości własnej Weyla dla macierzy hermitowskich rozciąga się naturalnie na perturbację wartości osobliwych. Ten wynik daje granicę perturbacji w wartościach osobliwych macierzy z powodu perturbacji addytywnej :
gdzie zauważamy, że największa pojedyncza wartość pokrywa się z normą widmową .