Nierówność Weyla

W algebrze liniowej nierówność Weyla jest twierdzeniem o zmianach wartości własnych zaburzonej macierzy hermitowskiej . Można go użyć do oszacowania wartości własnych zaburzonej macierzy hermitowskiej.

Nierówność Weyla dotycząca perturbacji

Niech i będą n × n macierzami hermitowskimi z ich odpowiednimi wartościami własnymi uporządkowane w następujący sposób:

Wtedy zachodzą następujące nierówności:

i, bardziej ogólnie,

, jeśli jest dodatnio określony, to wstawienie nierówności prowadzi do

Zauważ, że te wartości własne można uporządkować, ponieważ są one rzeczywiste (jako wartości własne macierzy hermitowskich).

Nierówność Weyla między wartościami własnymi a wartościami osobliwymi

Niech mają wartości osobliwe i wartości własne uporządkowane tak, że . Następnie

k , z równością dla .

Aplikacje

Szacowanie zaburzeń widma

Załóżmy, że jest mały w tym sensie, że jego norma widmowa spełnia małego . Wynika z tego, że wszystkie wartości własne ograniczone wartością bezwzględną przez . Stosując nierówność Weyla wynika, że ​​widma macierzy hermitowskich M i N są bliskie w tym sensie

Należy jednak zauważyć, że ta granica zaburzeń wartości własnej jest generalnie fałszywa dla macierzy niehermitowskich (lub dokładniej dla macierzy innych niż normalne). Dla kontrprzykładu niech i rozważmy

których wartości własne i nie spełniają .

Nierówność Weyla dla wartości osobliwych

Niech macierzą z } Jego wartości to własne Rozszerzona macierz hermitowska

Dlatego nierówność perturbacji wartości własnej Weyla dla macierzy hermitowskich rozciąga się naturalnie na perturbację wartości osobliwych. Ten wynik daje granicę perturbacji w wartościach osobliwych macierzy z powodu perturbacji addytywnej :

gdzie zauważamy, że największa pojedyncza wartość pokrywa się z normą widmową .

Notatki

  •   Teoria macierzy , Joel N. Franklin, (Dover Publications, 1993) ISBN 0-486-41179-6
  • „Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen”, H. Weyl, Math. Ann., 71 (1912), 441–479