Nierówności logarytmiczne Sobolewa

W matematyce logarytmiczne nierówności Sobolewa $gradient$ normę funkcji f , jej logarytm i jej . Te nierówności zostały odkryte i nazwane przez Leonarda Grossa , który ustanowił je w formie niezależnej od wymiarów, w kontekście konstruktywnej kwantowej teorii pola . Podobne wyniki odkryli już wcześniej inni matematycy i znanych jest wiele odmian takich nierówności.

Gross udowodnił nierówność:

${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ duży |} f (x) {\ duży |} ^ {2} \ log {\ duży |} f (x) {\ duży | }\,d\nu (x)\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}\nabla f(x){\big |}^{2}\,d\nu (x)+\|f\|_{2}^{2}\log \|f\|_{2},}$

gdzie ${\ Displaystyle \|f \|_ {2}}$ jest normą ${\ Displaystyle L ^ {2} (\ nu)}$ z ${\ displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle f}$ jest standardową miarą Gaussa na ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$ W przeciwieństwie do klasycznych nierówności Sobolewa , nierówność logarytmiczna-Sobolewa Grossa nie ma żadnej stałej zależnej od wymiarów, co czyni ją stosowalną w granicy nieskończenie wymiarowej.

W szczególności mówi się, że miara prawdopodobieństwa na $displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$$\$ spełnia nierówność logarytmu Sobolewa ze stałą, $\ displaystyle \ mu}$ do dla dowolnej gładkiej funkcji f

${\ Displaystyle \ operatorname {Ent} _ {\ mu} (f ^ {2}) \ równoważnik C \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ duży |} \ nabla f(x){\big |}^{2}\,d\mu (x),}$

gdzie ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Ent} _ {\ mu} (f ^ { 2})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{2}\log {\frac {f^{2}}{\int _{\mathbb {R} ^{n}} f^{2}\,d\mu (x)}}\,d\mu (x)}$ to funkcjonał entropii.

Notatki

•   Gross, Leonard (1975a), „Nierówności logarytmiczne Sobolewa”, American Journal of Mathematics , 97 (4): 1061–1083, doi : 10,2307/2373688 , JSTOR 2373688
• Gross, Leonard (1975b), „Hiperkonkurczliwość i logarytmiczne nierówności Sobolewa dla postaci Clifforda-Dirichleta” , Duke Journal of Mathematics , 42 (3): 383–396, doi : 10.1215 / S0012-7094-75-04237-4