Normalnie rozłożony i nieskorelowany nie oznacza niezależnego

W teorii prawdopodobieństwa , chociaż proste przykłady ilustrują, że liniowa nieskorelacja dwóch zmiennych losowych generalnie nie implikuje ich niezależności , czasami błędnie uważa się, że implikuje to, gdy dwie zmienne losowe mają rozkład normalny . Ten artykuł pokazuje, że założenie rozkładów normalnych nie ma takiej konsekwencji, chociaż wielowymiarowy rozkład normalny , w tym dwuwymiarowy rozkład normalny , ma.

Powiedzieć, że para zmiennych losowych ma dwuwymiarowy rozkład normalny oznacza, $że$$​​każda$$}$ X + $}$ i ${\ Displaystyle Y}$ dla stałych (tj. nie losowych) współczynników ${\ Displaystyle a}$ i ${\ Displaystyle b}$ (nie oba są równe zeru) ma jednowymiarowy rozkład normalny. $W takim$ , jeśli i są $nieskorelowane,$ są niezależne. Jednak możliwe jest, aby dwie zmienne losowe $;$ zmienne $były$ tak rozłożone łącznie, że każda z nich ma rozkład marginalnie normalny i są nieskorelowane, ale nie są niezależne przykłady podano poniżej.

Przykłady

Przykład symetryczny

Wspólny zakres i ${ \$$Y}$ . Ciemniejszy oznacza wyższą wartość funkcji gęstości.

Załóżmy, $rozkład$ ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną 0 i wariancją 1. Niech $W = 1}$ Rademachera , tak że $Displaystyle$ lub ${\ displaystyle X} displaystyle W = -1}$${\ displaystyle X$ każdy z prawdopodobieństwem 1/2 i załóżmy, że jest niezależny od $}$ . Niech ${\ displaystyle Y = WX}$ . Następnie

• ${\ displaystyle X}$ i ${\ displaystyle Y}$ są nieskorelowane;
• oba mają ten sam rozkład normalny; I
• ${\ displaystyle X}$ i ${\ displaystyle Y}$ nie są niezależne.

Aby zobaczyć, że i ${\ Displaystyle$$Y}$ są nieskorelowane, można rozważyć kowariancję ${\ Displaystyle \ operatorname {cov} (X, Y)}$ z definicji to Jest

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {cov} (X, Y) = \ nazwa operatora {E} (XY) - \ nazwa operatora {E} (X) \ nazwa operatora {E} (Y).}$

Następnie z definicji zmiennych losowych , $displaystyle$$Y}$ i ${\ displaystyle W}$ oraz niezależności od W {\ displaystyle W} , ma $X$ \ $X}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {cov} (X, Y) = \ nazwa operatora {E} (XY) -0 = \ nazwa operatora {E} (X ^ {2} W) = \ nazwa operatora {E} (X ^ {2} )\nazwa_operatora {E} (W)=\nazwa_operatora {E} (X^{2})\cdot 0=0.}$

Aby zobaczyć, że $}$ { \ $X$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Pr (Y \ równoważnik x) i {} = \ nazwa operatora {E} (\ Pr (Y \ równoważnik x \ środkowy W)} \ \&{}=\Pr(X\równoważnik x)\Pr(W=1)+\Pr(-X\równoważnik x)\Pr(W=-1)\\&{}=\Phi (x)\ cdot {\frac {1}{2}}+\Phi (x)\cdot {\frac {1}{2}}\end{wyrównane}}}$

$mają$ ponieważ oba ten sam rozkład normalny $)$$gdzie$ jest funkcją standardowego .

Aby zobaczyć, że $i$$nie$ niezależne , zauważ, ${\ Displaystyle | Y|=| X|}$ lub że ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Pr} (Y> 1 | -1/2 <X <1/2) = \ nazwa operatora {Pr} (X> 1 | -1/2 < X<1/2)=0}$ .

Wreszcie, rozkład prostej kombinacji liniowej $1$$Pr} (X + Y$ prawdopodobieństwo na 0: . Dlatego zmienna losowa $normalnego$ , a więc także i Y $}$$Y$ nie mają wspólnego rozkładu normalnego (zgodnie z powyższą definicją).

Asymetryczny przykład

Gęstość stawów i ${ \$$Y}$ . Ciemniejszy oznacza wyższą wartość gęstości.

Załóżmy, $normalny$ z wartością oczekiwaną 0 i wariancją 1. Niech

${\ Displaystyle Y = \ lewo \ {{\ rozpocząć {macierz} X & {\ tekst {jeśli}} \ lewo | X \ prawo | \ równoważnik c \\ - X & {\ tekst {jeśli}} \ lewo | X \right|>c\end{macierz}}\right.}$

gdzie jest $liczbą dodatnią$ którą należy określić poniżej. Jeśli do ${\ displaystyle c}$ bardzo mała, to korelacja ${\ Displaystyle \ operatorname {corr} (X, Y)}$ jest bliska ${\ displaystyle -1}$ if ${\ displaystyle c}$ jest bardzo duży, więc ${\ Displaystyle \ operatorname {corr} (X, Y)}$ jest blisko 1. Ponieważ korelacja jest funkcją ciągłą , twierdzenie o wartości pośredniej implikuje, że istnieje jakaś konkretna wartość $0.$$wynosi$ Ta wartość wynosi około 1,54. W takim przypadku i $displaystyle$$całkowicie$ , ale wyraźnie nie są niezależne, ponieważ określają $X$$}$ .

Aby zobaczyć, że ma $rozkład$ normalny - w rzeczywistości, że jego rozkład jest taki sam jak rozkład można obliczyć jego dystrybucję skumulowaną : ${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Pr (Y \ równoważnik x) & = \ Pr (\ {| X | \ równoważnik c {\ tekst {i}} X \ równoważnik x \} {\ tekst {lub}} \{|X|>c{\text{ i }}-X\równoważnik x\})\\&=\Pr(|X|\równoważnik c{\text{ i }}X\równoważnik x)+\Pr (|X|>c{\text{ i }}-X\równoważnik x)\\&=\Pr(|X|\równoważnik c{\tekst{ i }}X\równoważnik x)+\Pr(|X |>c{\text{ i }}X\równik x)\\&=\Pr(X\równik x),\end{wyrównane}}}$

gdzie przedostatnia równość wynika z symetrii rozkładu $i$ warunku, że ${\ Displaystyle | X | \ równoważnik c}$ .

W tym przykładzie różnica nie jest bliska rozkładowi normalnemu, ponieważ istnieje znaczne prawdopodobieństwo (około 0,88) tego, że będzie równa 0. Z kolei rozkład normalny, będąc rozkładem ciągłym, X - Y { $\$ nie ma części dyskretnej - to znaczy nie skupia więcej niż zero prawdopodobieństwa w żadnym pojedynczym punkcie. W konsekwencji $rozkładu$ nie mają wspólnego normalnego, mimo że mają oddzielny rozkład $.$

Przykłady ze wsparciem prawie wszędzie w ℝ ²

Powszechnie wiadomo, że $stosunek$$normalnych$ niezależnych odchyleń $Cauchy'ego$ ma . $spełnić$ dobrze można zacząć od zmiennej losowej Cauchy'ego $i$ rozkład warunkowy, warunek, że $Displaystyle$ X_ {i $niezależnymi$$= CY_ {i}}$ i normalnymi Przechodząc przez matematykę, można to znaleźć

${\ Displaystyle Y_ {i} = W_ {i} {\ sqrt {\ Frac {\ chi _ {i} ^ {2} \ lewo (k =2\right)}{1+C^{2}}}}}$

w którym jest zmienną losową Rademachera i jest $ja$ 2 $\ chi _ {i} ^ {2} \ lewo (k = 2 \ prawej)$ chi -kwadrat o dwóch stopniach swobody.

Rozważmy dwa zestawy ${\ Displaystyle \ lewo (X_ {i}, Y_ {i} \ prawej)}$ , ${\ Displaystyle i \ w \ lewo \ {1, 2\prawo\}}$ . Zauważ, że $nie$ indeksowany przez $to$ znaczy ta sama zmienna losowa Cauchy'ego $używana$ w definicji obu ${\ Displaystyle \ lewo (X_ {1}, Y_ {1} \ prawej)}$ i ${\ Displaystyle \ lewo (X_ {2}, Y_ {2} \ prawej)}$ . To udostępnianie skutkuje zależnościami między wskaźnikami: ani $Y$$\ Displaystyle X_ {1}},$ ani ${\ Displaystyle Y_ {1}}$ nie jest niezależne od $Displaystyle Y_ {2}}$ . Niemniej jednak wszystkie i ${\ displaystyle X_ {i}$ } ${\ displaystyle Y_ {i}}$ są nieskorelowane, ponieważ wszystkie rozkłady dwuwymiarowe mają symetrię odbicia na osiach.

Nienormalne wspólne rozkłady z normalnymi brzegami.

Rysunek przedstawia wykresy rozrzutu próbek pobranych z powyższego rozkładu. Daje to dwa przykłady rozkładów dwuwymiarowych, które są nieskorelowane i mają normalne rozkłady krańcowe, ale nie są niezależne. Lewy panel pokazuje łączną dystrybucję i $Y_$${\ Displaystyle$ ; dystrybucja ma wsparcie wszędzie, ale nie u źródła. Prawy panel pokazuje łączną dystrybucję ${\ Displaystyle Y_ {1}}$ i ${\ Displaystyle Y_ {2}}$ ; rozkład ma wsparcie wszędzie poza osiami i ma nieciągłość na początku: gęstość rozchodzi się, gdy zbliżamy się do początku wzdłuż dowolnej prostej ścieżki z wyjątkiem osi.

Zobacz też

• Korelacja i zależność

Uwagi