Obcięty model normalnej przeszkody

W ekonometrii model obciętej normalnej przeszkody jest wariantem modelu Tobita i został po raz pierwszy zaproponowany przez Cragg w 1971 roku.

W standardowym modelu Tobita, reprezentowanym jako ${\ Displaystyle y = (x \ beta + u) 1 [x \ beta + u> 0]}$ , gdzie ${\ Displaystyle u | x \ sim N (0, \ sigma ^ {2})}$ Ta konstrukcja modelu domyślnie narzuca dwa założenia pierwszego rzędu:

Ponieważ: ${\ Displaystyle \ częściowe P [y> 0] / \ częściowe x_ {j} = \ varphi (x \ beta / \sigma )\beta _{j}/\sigma }$ i $\}}$ ${\ Displaystyle \ częściowe \ nazwa operatora {E} [y \ środkowy x, y> 0] / \ częściowe x_ {j} = \ beta _ {j} \ {1- \ teta (x \$ $sigma$ $prawdopodobieństwo$ , częściowy na i ${\ Displaystyle \ operatorname {E} [y \ mid x, y> 0]}$ ma ten sam znak:
${\ Displaystyle x_ {h}}$ i ${\ Displaystyle x_ {j}}$ jot na ${\ Displaystyle P [y> 0]$ i ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [y \ mid x, y> 0]}$ są identyczne, tj.:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe P [y> 0]/\ częściowe x_ {h}} {\ częściowe P [y> 0]/\ częściowe x_ {j}}} = {\ Frac {\ częściowe \ nazwa operatora {E} [y\mid x,y>0]/\częściowe x_{h}}{\częściowe \operatorname {E} [y\mid x,y>0]/\częściowe x_{j}}}={ \frac {\beta _{h}}{\beta _{j}}}|}

Jednak te dwa ukryte założenia są zbyt mocne i niespójne z wieloma kontekstami w ekonomii . Na przykład, kiedy musimy zdecydować, czy zainwestować i zbudować fabrykę, koszt budowy może mieć większy wpływ niż cena produktu ; ale kiedy już zbudowaliśmy fabrykę, cena produktu ma zdecydowanie większy wpływ na przychody . Stąd domniemane założenie (2) nie pasuje do tego kontekstu. Istota tego zagadnienia polega na tym, że standardowy Tobit implicite modeluje bardzo silny związek między decyzją partycypacyjną ${\ Displaystyle (y = 0}$ lub ${\ Displaystyle y> 0)}$ i decyzja o kwocie (wielkość ${\ Displaystyle y}$ , gdy ${\ Displaystyle y> 0}$ ). Jeśli model rozwiązania narożnego jest przedstawiony w ogólnej postaci: ${\ Displaystyle y = s \ centerdot w,}$ $displaystyle$ gdzie jest decyzją o uczestnictwie i $w}$ jest decyzją kwotową, standardowy model Tobita zakłada:

{\ Displaystyle s = 1 [x \ beta + u> 0];}

{\ Displaystyle w = x \ beta + u.}

Aby model był kompatybilny z większą liczbą kontekstów, naturalnym ulepszeniem jest założenie:

{\ Displaystyle s = 1 [x \ gamma + u> 0], {\ tekst {gdzie}} u \ sim N (0,1);}

${\ Displaystyle w = x \ beta + e,}$ gdzie składnik błędu ( ${\ Displaystyle e}$ ) jest rozkładem jako obcięty rozkład normalny o gęstości równej ${\ Displaystyle \ varphi (\ cdot) / \ Phi \ lewo ({\ Frac {x \ beta} {\ sigma}} \ prawej) / \ sigma;}$

${\ displaystyle s}$ i $displaystyle$ niezależne warunkowo od $x}$ .

Nazywa się to obciętym normalnym modelem przeszkody, zaproponowanym przez Cragga (1971). Dodając jeszcze jeden parametr i odłączając decyzję dotyczącą kwoty od decyzji o uczestnictwie, model może pasować do większej liczby kontekstów. W tej konfiguracji modelu gęstość danej można zapisać jako: y $displaystyle$ $y}$

{\ Displaystyle f (y \ mid x) = [1- \ Phi (\ chi \ gamma)] ^ {1 [y = 0]} \ cdot \ lewo [{\ Frac {\ Phi \ (\ chi \ gamma) }{\Phi (\chi \beta /\sigma )}}\left.\varphi \left({\frac {y-\chi \beta}{\sigma }}\right)\right/\sigma \right] ^{1[y>0]}}

Z tej reprezentacji gęstości jest oczywiste, że zdegeneruje się do standardowego modelu Tobita, gdy ${\ displaystyle \ gamma = \ beta / \ sigma.}$ Pokazuje to również, że obcięty model normalnej przeszkody jest bardziej ogólny niż standardowy model Tobita.

Model obciętej normalnej przeszkody jest zwykle szacowany za pomocą MLE. Funkcję logarytmu wiarygodności można zapisać jako:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ ell (\ beta, \ gamma, \ sigma) = {} i \ suma _ {i = 1} ^ {N} 1 [y_ {i} = 0] \ log [1 -\Phi (x_{i}\gamma )]+1[y_{i}>0]\log[\Fi (x_{i}\gamma)]\\[5pt]&{}+1[y_{i }>0]\left[-\log \left[\Phi \left({\frac {x_{i}\beta }{\sigma }}\right)\right]+\log \left(\varphi \left ({\frac {y_{i}-x_{i}\beta}{\sigma}}\right)\right)-\log(\sigma)\right]\end{wyrównane}}}

$Z$ funkcji logarytmu wiarygodności $oszacować$ za pomocą probitowego i za pomocą obciętego modelu regresji Na podstawie szacunków można odpowiednio oszacować spójne oszacowania średniego efektu częściowego.

Zobacz też