Odchylenie pozy

W matematyce z teorią porządku odchylenie posetu jest liczbą porządkową mierzącą złożoność posetu . Poset jest również znany jako częściowo uporządkowany zestaw.

Odchylenie pozycji służy do zdefiniowania wymiaru Krulla modułu nad pierścieniem jako odchylenie jego pozycji podmodułów.

Definicja

₀ Deklaruje się, że trywialna pozycja (taka, w której żadne dwa elementy nie są porównywalne) ma odchylenie ${\ displaystyle - \ infty}$ . Mówi się, że nietrywialna pozycja spełniająca warunek łańcucha zstępującego ma odchylenie 0. Następnie, indukcyjnie, mówi się, że pozycja ma odchylenie co najwyżej α (dla porządkowej α), jeśli dla każdego zstępującego łańcucha elementów a > a ₁ >... wszystkie z _{wyjątkiem +1} skończonej liczby pozycji elementów między n a n mają odchylenie mniejsze niż α _. Odchylenie (jeśli istnieje) to minimalna wartość α, dla której jest to prawdą.

Nie każda pozycja ma odchylenie. Następujące warunki na posecie są równoważne:

Poset ma odchylenie
Pozycja przeciwna ma odchylenie
Poset nie zawiera porządku podzbioru - izomorficznego z liczbami wymiernymi (z ich standardowym uporządkowaniem numerycznym)

Przykłady

Zestaw dodatnich liczb całkowitych ma odchylenie 0: każdy malejący łańcuch jest skończony, więc warunek definiujący odchylenie jest próżniowo prawdziwy . Jednak jego przeciwna pozycja ma odchylenie 1.

Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym i rozważmy zbiór ideałów pierścienia wielomianu k[x] w jednej zmiennej. Ponieważ odchylenie tej pozycji jest wymiarem Krulla pierścienia, wiemy, że powinno ono wynosić 1. Odpowiada to temu, że k[x] nie ma warunku łańcucha malejącego (więc odchylenie jest większe od zera), ale w dowolnym łańcuchu zstępującym kolejne elementy są „blisko siebie”. Weźmy na przykład zstępujący łańcuch ideałów ${\ Displaystyle (x) \ supset (x ^ {2}) \ supset (x ^ {3}) \ supset ...}$ - to jest nieskończony łańcuch malejący, ale powiedzmy dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów $)}$ $Displaystyle$ i nie ma nieskończonego zstępującego łańcucha ideałów k [x] między tymi terminami

Rozszerzając ten przykład dalej, rozważmy pierścień wielomianowy w dwóch zmiennych, k[x,y] , który ma wymiar Krulla 2. Weźmy malejący łańcuch ${\ Displaystyle (x) \ supset (x ^ {2}) \ supset (x ^ {3}) \ supset ...}$ . ${n + 1})}$ 1 ) $x$ nieskończona liczba łańcuch ${\ Displaystyle (x ^ {n} y, x ^ {n + 1}) \ supset (x ^ {n} y ^ {2}, x ^ {n + 1}) \ supset (x ^ {n} y ^{3},x^{n+1})\supset...}$ . Możemy więc znaleźć zstępujący łańcuch taki, że między dowolnymi dwoma sąsiednimi terminami istnieje dalszy nieskończony łańcuch zstępujący - możemy „zagnieździć” zstępujące łańcuchy na głębokość dwóch warstw. Rozszerzając to, łatwo zauważyć, że w pierścieniu wielomianowym w n zmiennych możliwe jest zagnieżdżanie malejących łańcuchów na głębokość n warstw i nie więcej. To zasadniczo oznacza, że zbiór ideałów ma odchylenie n .

McConnell, JC; Robson, JC (2001), Nieprzemienne pierścienie noetherowskie , Studia podyplomowe z matematyki , tom. 30 (wyd. Poprawiona), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2169-5 , MR 1811901