Okolice Makbeta

Region Macbeatha wokół punktu x w ciele wypukłym K i skalowany region Macbeatha wokół punktu x w ciele wypukłym K

W matematyce region Macbeatha jest wyraźnie zdefiniowanym regionem w analizie wypukłej na ograniczonym wypukłym podzbiorze d -wymiarowej przestrzeni euklidesowej ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ . Pomysł ten został wprowadzony przez Alexandra Macbeatha ( 1952 ) i nazwany przez G. Ewalda, DG Larmana i CA Rogersa w 1970 r. Regiony Macbeatha zostały wykorzystane do rozwiązania pewnych złożonych problemów w badaniu granic ciał wypukłych. Ostatnio zostały one wykorzystane w badaniu przybliżeń wypukłych i innych aspektów geometrii obliczeniowej .

Definicja

Niech K będzie ograniczonym zbiorem wypukłym w przestrzeni euklidesowej . Biorąc pod uwagę punkt x i skaler λ, skalowany przez λ region Macbeatha wokół punktu x to:

{\ Displaystyle {M_ {K}} (x) = K \ cap (2x-K) = x + ((Kx) \ cap (xK)} = \ {k '\ w K | \ istnieje k \ w K {\ tekst{ i }}k'-x=xk\}}

Skalowany region Macbeatha w x jest zdefiniowany jako:

{\ Displaystyle M_ {K} ^ {\ lambda} (x) = x + \ lambda ((Kx) \ cap (xK)) = \ {(1- \ lambda) x + \ lambda k '| k' \ in K,\istnieje k\w K{\text{ i }}k'-x=xk\}}

Można to postrzegać jako przecięcie K z odbiciem K wokół x przeskalowanym przez λ.

Przykładowe zastosowania

Regiony Macbeatha można wykorzystać do stworzenia przybliżeń $wypukłych kształtów$ ${\ Displaystyle O (\ log ^{\frac {d+1}{2}}({\frac {1}{\epsilon}})}}$ odniesieniu do odległości Hausdorffa ze współczynnikiem kombinatoryczna złożoność dolnej granicy.
Regiony Macbeatha można wykorzystać do przybliżenia kulek w metryce Hilberta , np. Mając dowolne wypukłe K , zawierające x i wtedy: za ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ lambda <1}$

{\ Displaystyle B_ {H} \ lewo (x, {\frac {1}{2}}\ln(1+\lambda )\right)\podzbiór M^{\lambda }(x)\podzbiór B_{H}\left(x,{\frac {1}{ 2}}\ln {\frac {1+\lambda}}{1-\lambda}}\prawo)}

Nieruchomości

M ${\ Displaystyle M_ {K} ^ {\ lambda} (x)}$ centralnie symetryczny wokół x.
Regiony Macbeatha to zbiory wypukłe .
Jeśli ${\ Displaystyle x, y \ in K}$ i ${\ Displaystyle M ^ {\ Frac {1} {2}} (x) \ cap M ^ {\ Frac {1} {2}} (y) \ neq \ pusty zestaw}$ następnie ${\ Displaystyle M ^ {1} (y) \ podzbiór M ^ { 5}(x)}$ . Zasadniczo, jeśli przecinają się dwa regiony Macbeatha, możesz przeskalować jeden z nich, aby zawierał drugi.
Jeśli jakiś wypukły K w $zawierający zarówno kulę o$ , jak i półprzestrzeń H , z półprzestrzenią rozłączną z kulą i czapką ${\ Displaystyle K \ cap H} naszego wypukłego zestawu ma$ $\ Displaystyle K$ mniejszą lub równą , otrzymujemy $M$ dla x , środek ciężkości K w ograniczającej hiperpłaszczyźnie H .
pod uwagę wypukły korpus $K o$ , to dowolny kapturek najwyżej ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {6d}}}$ wtedy do $\ Displaystyle C \ podzbiór M ^ {3d} (x)}$ , gdzie x jest środkiem ciężkości podstawy czapki.
Biorąc pod uwagę wypukły K $C$ pewną stałą , to dla dowolnego punktu x w czapce z K wiemy, że $Displaystyle M ^ {\ lambda }(x)\cap K\podzbiór C^{1+\lambda }}$ ⊂ . W szczególności, gdy otrzymujemy ${\ Displaystyle \ lambda \ równoważnik 1}$ ${\ Displaystyle M ^ {\ lambda} (x) \ podzbiór C ^ {1 + \ lambda}}$ .
$M' (x) \ neq \ emptyset}$ wypukły korpus K ${\ Displaystyle M '(x) \ podzbiór C ^ {2}}$ czapkę C z K , jeśli x jest w M ′ ( .
Biorąc pod uwagę mały $wypukły$ $\epsilon >0$ w postaci kanonicznej, istnieje pewien zbiór O ${\ Displaystyle O \ lewo ({\ Frac {1} {\ epsilon ^ {\ Frac {d-1} {2}}}} \ prawej)} centralnie symetryczne rozłączne wypukłe$ $O\left({\frac {1}{\epsilon ^{\frac {d-1}{2}}}}\right)$ $K \ podzbiór R ^ {d}$ $K\subset R^{d}$ ciała ${\ Displaystyle R_ {1}, .... R_ {k}}$ $R_{1},....,R_{k}$ ${\ Displaystyle C_ {1}, .... C_ {k}}$ $C_{1},....,C_{k}$ czapki takie, że dla pewnej stałej i w zależności od d mamy: $\ Displaystyle \ beta}$ $\beta$ i ${\ Displaystyle \ lambda}$ $\lambda$
- każdy ma szerokość $⊂ do$ ${i}^{\lambda}}$ $R_$ ⊂ $R_ {i} \ podzbiór C_ {$
- $,$ czapeczką szerokości musi istnieć ja , aby $do {\ Displaystyle R_ {i} \ podzbiór C}$ i $C_{i}^{\frac {1}{\beta ^{2}}}\podzbiór C\podzbiór C_{i}}$ $\$