Okrągły zespół

W teorii macierzy losowych zespoły kołowe są miarami na przestrzeniach macierzy unitarnych wprowadzonymi przez Freemana Dysona jako modyfikacje zespołów macierzy Gaussa . Trzy główne przykłady to okrągły zespół ortogonalny (COE) na symetrycznych macierzach unitarnych, okrągły zespół unitarny (CUE) na macierzach unitarnych i kołowy zespół symplektyczny (CSE) na podwójnych, jednostkowych macierzach czwartorzędowych.

Rozkłady prawdopodobieństwa

Rozkład jednolitego zespołu kołowego CUE( n ) jest miarą Haara na grupie unitarnej U(n) . Jeśli U jest elementem losowym CUE( n ), to U ^T U jest elementem losowym COE( n ); jeśli U jest elementem losowym CUE( 2n ), to U ^R U jest elementem losowym CSE( n ), gdzie

${\ Displaystyle U ^ {R} = \ lewo ({\ rozpocząć {tablica} {ccccccc} 0&-1&&&&&\\1&0&&&&&&\\&&0&-1&&&\\&&1&0&&&\\&&&&\ ddots &&\\&&&&0&-1\\&&&&&1&0\ end{array}}\right)U^{T}\left({\begin{array}{ccccccc}0&1&&&&&\\-1&0&&&&&\\&&0&1&&&\\&&-1&0&&&\\&&&&\ddots &&\\&&&&&0&1\\&&&&& -1&0\end{tablica}}\right)~.}$

$element zespołu$ wartości własne okręgu jednostkowym ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ theta _ {k}<2 \ pi}$ dla k = 1,2, ... n , gdzie są ${\ Displaystyle \ theta _ {k}}$ znane również jako kąty własne lub fazy własne . W CSE każda z tych n wartości własnych pojawia się dwukrotnie. Rozkłady mają gęstości w odniesieniu do kątów własnych, podane przez

${\ Displaystyle p (\ teta _ {1}, \ cdots, \ teta _ {n}) = {\ Frac {1} {Z_ {n, \ beta}}} \ prod _ {1 \ równoważnik k <j \leq n}|e^{i\theta _{k}}-e^{i\theta _{j}}|^{\beta }~}$

na ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {[0,2 \ pi]} ^ {n}}$ (wersja symetryczna), gdzie β = 1 dla COE, β = 2 dla CUE i β=4 dla CSE. Stała normalizacji Z _n,β jest dana wzorem

${\ Displaystyle Z_ {n, \ beta} = (2 \ pi) ^ {n }{\frac {\Gamma (\beta n/2+1)}{\left(\Gamma (\beta /2+1)\right)^{n}}}~,}$

co można zweryfikować za pomocą wzoru całkowego Selberga lub wzoru całkowego Weyla dla zwartych grup Liego.

Uogólnienia

Uogólnienia zespołu kołowego ograniczają elementy macierzowe U do liczb rzeczywistych [tak, że U jest w ortogonalnej grupie O(n) ] lub do rzeczywistych liczb kwaternionów [tak, że U jest w grupie symplektycznej Sp(2n) . Miara Haara na grupie ortogonalnej daje okrągły zespół rzeczywisty (CRE), a miara Haara na grupie symplektycznej daje okrągły zespół kwaternionów (CQE).

Wartości własne macierzy ortogonalnych występują w złożonych parach sprzężonych ${\ Displaystyle e ^ {i \ theta _ {k}}}$ i $}$${\ Displaystyle e ^ {-i \ theta _ {k}$ , ewentualnie uzupełnione wartościami własnymi ustalonymi na +1 lub -1 . Dla n=2m parzystego i det U=1 nie ma ustalonych wartości własnych, a fazy θ _k mają rozkład prawdopodobieństwa

${\ Displaystyle p (\ teta _ {1}, \ cdots, \ teta _{m})=C\prod _{1\równoważnik k<j\równoważnik m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~,}$

gdzie C to nieokreślona stała normalizacji. Dla n=2m+1 nieparzysta istnieje jedna stała wartość własna σ=det U równa ±1. Fazy ​​mają rozkład

${\ Displaystyle p (\ teta _ {1}, \ cdots, \ teta _ {m}) = C \ prod _ {1 \ równoważnik i \ równoważnik m} (1- \ sigma \ cos \ teta _ {i}) \prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~.}$

Dla n=2m+2 parzyste i det U=-1 istnieje para wartości własnych ustalona na +1 i -1 , podczas gdy fazy mają rozkład

${\ Displaystyle p (\ teta _ {1}, \ cdots, \ teta _ {m}) = C \ prod _ {1 \ równoważnik i \ równoważnik m} (1- \ cos ^ {2} \ teta _ {i })\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~.}$

Jest to również rozkład wartości własnych macierzy w Sp(2m) .

Te funkcje gęstości prawdopodobieństwa są określane jako rozkłady Jacobiego w teorii macierzy losowych, ponieważ funkcje korelacji można wyrazić za pomocą wielomianów Jacobiego .

Obliczenia

Średnie iloczynów elementów macierzy w zespołach kołowych można obliczyć za pomocą funkcji Weingartena . Dla dużych wymiarów macierzy obliczenia te stają się niepraktyczne, a metoda numeryczna jest korzystna. Istnieją wydajne algorytmy do generowania losowych macierzy w zespołach kołowych, na przykład poprzez wykonanie dekompozycji QR na macierzy Ginibre'a.

Implementacje oprogramowania

• „Okrągłe zespoły Wolfram Mathematica” . Język Wolframa .
• Suezen, Mehmet (2017). „Bristol: pakiet Pythona dla Random Matrix Ensembles (równoległa implementacja generowania zespołów kołowych)” . doi : 10.5281/zenodo.579642 . {{ cite journal }} : Cite journalwymaga |journal= ( help )
  • "Bristol: pakiet Pythona dla losowych zestawów macierzy" . pypi .

Linki zewnętrzne

•    Mehta, Madan Lal (2004), Losowe macierze , Czysta i stosowana matematyka (Amsterdam), tom. 142 (wyd. 3), Elsevier/Academic Press, Amsterdam, ISBN 978-0-12-088409-4 , MR 2129906
•   Forrester, Peter J. (2010), Gazy logarytmiczne i macierze losowe , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12829-0