Optymalny podział

Optymalny podział to podejście do podziału oparte na optymalizacji matematycznej .

W problemie podziału istnieje zasób do przydzielenia, oznaczony przez ${\ displaystyle h}$ . Na przykład może to być liczba całkowita reprezentująca liczbę mandatów w izbie poselskiej . Zasób powinien być przydzielony $między$ agentami . Mogą to być na przykład kraje związkowe lub partie polityczne . Pełnomocnicy mają różne uprawnienia , oznaczone wektorem ułamków ${\ displaystyle t_ {1}, \ ldots, t_ {n}}$ z sumą 1. Na przykład t _i może być ułamkiem głosów zdobytych przez partię i . Celem jest znalezienie $=1}^{n}a_{i}=h}$ wektor ∑ $ja$ = $_$ .

Idealnym udziałem agenta i jest jego/jej limit , zdefiniowany jako ${\ displaystyle q_ {i}: = t_ {i} \ cdot h}$ . Jeśli możliwe jest przyznanie każdemu agentowi jego/jej kwoty, to alokacja jest maksymalnie sprawiedliwa. Jednak dokładna sprawiedliwość jest zwykle nieosiągalna, ponieważ kwoty nie są liczbami całkowitymi, a przydziały muszą być liczbami całkowitymi. Istnieją różne podejścia do radzenia sobie z tą trudnością (patrz matematyka podziału ). Podejście oparte na optymalizacji ma na celu osiągnięcie, na przykład, alokacji, która jest „tak sprawiedliwa, jak to tylko możliwe” dla tego przypadku. Alokacja jest „sprawiedliwa”, jeśli $wszystkich$ agentów i , agenta jest dokładnie proporcjonalna do jego w tym przypadku mówimy, że „niesprawiedliwość” alokacji wynosi 0. Jeśli ta równość musi zostać naruszona, można zdefiniować miarę „całkowitej niesprawiedliwości” i spróbować ją zminimalizować.

Minimalizowanie sumy poziomów niesprawiedliwości

Najbardziej naturalną miarą jest suma poziomów niesprawiedliwości dla poszczególnych agentów, jak w regule utylitarnej :

• Można zminimalizować sumę różnic ${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} | a_ {i} -q_ {i} |}$ lub suma kwadratów ${\ Displaystyle \ suma _{i=1}^{n}(a_{i}-q_{i})^{2}}$ . Oba problemy minimalizacji rozwiązuje się metodą Hamiltona .
• Można zważyć elementy w sumie przez populację lub równoważnie przez kwotę i spróbować zminimalizować ${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^{n}q_{i}(a_{i}/q_{i}-1)^{2}}$ . Prowadzi to do metody Webstera .
• Można zminimalizować sumę różnic stosunków ${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} | q_ {i} / a_ {i} -1 |}$ lub suma kwadratów ${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} (q_ {i} / a_ {i} -1) ^ {2}}$ . Z tych celów wynikają dwie różne metody.
• Można zważyć elementy sumy według alokacji i spróbować zminimalizować ${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ { i}(q_{i}/a_{i}-1)^{2}}$ . Prowadzi to do metody Hilla .

Minimalizowanie największych niesprawiedliwości

Można zminimalizować największą niesprawiedliwość, jak w przypadku rządów egalitarnych :

• Można zminimalizować ${\ displaystyle \ max _ {i = 1} ^ {n} | q_ {i}/a_ {i} -1|}$ i przejdź do minimalizacji następnej co do wielkości niesprawiedliwości itp., Używając porządku leksyminowego . Daje to metodę zwaną metodą podziału leksyminy . Po raz pierwszy został opracowany przez Biro, Koczy i Sziklai, którzy przedstawili wydajny algorytm do jego obliczania. Jego głównym celem jest spełnienie wymagań Komisji Weneckiej , aby maksymalne odstępstwo od równego podziału przedmiotów między agentów było jak najmniejsze. Jego wadą jest to, że narusza zasadę kwotową i wszystkie kryteria monotoniczności.
• Burt i Harris (1963) zasugerowali minimalizację ${\ Displaystyle \ max _ {i, j = 1} ^ {n} | q_ {i} / a_ {i} -q_ {j} / a_ {j} |}$ .
• Minimalizowanie ${\ Displaystyle \ max _ {i = 1} ^ {n} q_ {i}/a_ {i}}$ prowadzi do metody Adamsa.
• Minimalizowanie ${\ Displaystyle \ max _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}/q_ {i}}$ prowadzi do metody Jeffersona.
• Możliwe jest również maksymalizowanie lub równoważnie minimalizowanie ${\ Displaystyle \ min _ {i = 1} ^ {n} (a_ {i} -q_ {i})}$${\ Displaystyle \ max _ {i = 1} ^ {n} (q_ {i} -a_ {i})}$ . Ta metoda spełnia oba limity.
• Metodę minimax można uogólnić na dowolne wybrane uporządkowanie priorytetów według kryteriów uczciwości.