Oswojona abstrakcyjna klasa podstawowa

W teorii modeli , dyscyplinie z zakresu logiki matematycznej , oswojona abstrakcyjna klasa elementarna to abstrakcyjna klasa elementarna (AEC), która spełnia właściwość lokalności dla typów zwanych oswojeniem. Mimo że pojawia się to pośrednio we wcześniejszych pracach Shelaha , oswajanie jako właściwość AEC zostało po raz pierwszy wyodrębnione przez Grossberga i VanDierena, którzy zauważyli, że oswojone AEC były znacznie łatwiejsze w obsłudze niż ogólne AEC.

Definicja

Niech K będzie AEC ze wspólnym osadzeniem, połączeniem i bez modeli maksymalnych. Podobnie jak w teorii modeli pierwszego rzędu, oznacza to, że $K$ ma model uniwersalny - jednorodny model . Pracując wewnątrz , możemy zdefiniować semantyczne pojęcie typów, określając, że dwa elementy a $i$ b $,$ ten sam w pewnym modelu podstawowym jeśli istnieje automorfizm modelu potwora wysyłający $,$ do b ustalający punktowo (zauważ że typy można definiować w podobny sposób bez użycia modelu potwora). Takie typy nazywane są typami Galois .

Można poprosić o określenie takich typów poprzez ich ograniczenie do małej domeny. Daje to początek pojęciu oswojenia:

AEC $jest$ oswojony , jeśli istnieje kardynał taki, że dowolne dwa różne Galois są już różne w podmodelu ich domeny o rozmiarze $leq \ kappa}$ $Displaystyle$ . Kiedy chcemy $,$ mówimy $,$ jest $.$

Zwykle zakłada się, że oswojone AEC również spełniają warunki fuzji.

Dyskusja i motywacja

Chociaż (bez istnienia dużych kardynałów ) istnieją przykłady nieoswojonych AEC, większość znanych naturalnych przykładów jest oswojona. Ponadto znane są następujące warunki wystarczające do oswojenia klasy:

Poskromienie jest dużym kardynalnym aksjomatem : istnieje wiele klas - wiele prawie silnie zwartych kardynałów , jeśli jakakolwiek abstrakcyjna klasa elementarna jest oswojona.
Pewna łagodność wynika z kategoryczności : jeśli AEC z połączeniem jest kategoryczny w kardynale o wystarczająco wysokiej współfinalności, to łagodność dotyczy typów ponad nasyconych modeli o rozmiarze mniejszym niż $λ$ $\ displaystyle \ lambda$ .
Hipoteza 1.5 w : Jeśli K jest kategoryczne w pewnym λ ≥ Hanf(K), to istnieje χ < Hanf(K) takie, że K jest χ-ujarzmione.

Wiele wyników w teorii modeli (ogólnych) AEC przyjmuje słabe formy hipotezy uogólnionego kontinuum i opiera się na wyrafinowanych kombinatorycznych argumentach z teorii mnogości. Z drugiej strony modelowa teoria oswojonych AEC jest znacznie łatwiejsza do opracowania, o czym świadczą wyniki przedstawione poniżej.

Wyniki

Poniżej przedstawiono kilka ważnych wyników dotyczących oswojonych AEC.

Przeniesienie kategoryczności w górę : ZA ${\ Displaystyle \ kappa}$ -ujarzmić AEC z połączeniem, które jest kategoryczne w pewnym następcy $}$ ${\ Displaystyle \ lambda \ geq \ operatorname {LS} (K) ^ {++} + \ kappa ^ {+$ $wszystkich$ (tj. ma dokładnie jeden model o rozmiarze do izomorfizmu) jest kategoryczny we μ $\ Displaystyle \ mu \ geq \ lambda}$ .
Transfer stabilności w górę : -ujarzmić $stabilna$ z fuzją, która jest w kardynale ${\ Displaystyle \ lambda \ geq \ kappa}$ jest stabilna w ${\ Displaystyle \ lambda ^ {+} }$ iw każdej nieskończoności tak, że ${\ Displaystyle \ mu ^ {\ lambda} = \ mu} μ {\ Displaystyle \$ $\ Displaystyle \ mu}$ .
Oswajanie można postrzegać jako topologiczną zasadę separacji : AEC z amalgamacją jest oswojony wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednią topologią na zbiorze typów Galois jest Hausdorff .
$kategoryczność$ sugerują, że istnieje pojęcie rozwidlenia : $displaystyle$ AEC z połączeniem, które jest kategoryczne w kardynale o współfinalności większej lub równej $\ kappa}$ ma dobrą ramę: rozwidlające się pojęcie dla typów singletonów (w szczególności jest stabilne we wszystkich kardynałach). Prowadzi to do dobrze wychowanego pojęcia wymiaru .

Notatki

Shelah, Saharon (1999), „Kategoryczność klas abstrakcyjnych z połączeniem” (PDF) , Annals of Pure and Applied Logic , 98 (1): 261–294, arXiv : math / 9809197 , doi : 10.1016 / s0168-0072 (98 )00016-5 , S2CID 27872122
Grossberg, Rami (2002), „Teoria klasyfikacji abstrakcyjnych klas elementarnych” (PDF) , Logika i algebra , Współczesna matematyka, tom. 302, Providence, RI: American Mathematical Society, s. 165–204, doi : 10.1090/conm/302/05080 , MR 1928390
Grossberg, Rami ; VanDieren , Monica ( 2006a ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Grossberg, Rami ; VanDieren, Monica (2006b), „Kategoryczność jednego następcy kardynała w oswojonych abstrakcyjnych klasach elementarnych” (PDF) , Journal of Mathematical Logic , 6 (2): 181–201, arXiv : math / 0510004 , doi : 10.1142 / s0219061306000554 , S2CID 16930649 ^{[ stały martwy link ]}
Baldwin, John T.; Kueker, Dawid; VanDieren, Monica (2006), „Przeniesienie stabilności w górę dla oswojonych abstrakcyjnych klas elementarnych” (PDF) , Notre Dame Journal of Formal Logic , 47 (2): 291–298, doi : 10.1305/ndjfl/1153858652 , S2CID 5770095
Baldwin, John T.; Shelah, Saharon (2008), „Przykłady nielokalizacji” (PDF) , The Journal of Symbolic Logic , 73 (3): 765–782, doi : 10.2178/jsl/1230396746 , S2CID 7276664
Shelah, Saharon (2009), Teoria klasyfikacji dla elementarnych klas abstrakcyjnych , Studies in Logic (Londyn), tom. 18, College Publications, Londyn, ISBN 978-1-904987-71-0
Baldwin, John T. (2009), Kategoryczność , seria wykładów uniwersyteckich, tom. 50, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 978-0821848937
Lieberman, Michael J. (2011), „Topologia typów Galois w abstrakcyjnych klasach elementarnych”, Mathematical Logic Quarterly , 57 (2): 204–216, doi : 10.1002 / malq.200910132
Boney, Will (2014). „Poskromienie z dużych aksjomatów kardynalnych”. arXiv : 1303.0550v4 [ matematyka. LO ].
Boney, Will; Unger Spencer (2015), „Duże kardynalne aksjomaty z oswojenia w AEC” arXiv: 1509.01191v2.
Vasey, Sebastien (2014). „Rozwidlenie i superstabilność w oswojonych AEC”. arXiv : 1405.7443v2 [ matematyka. LO ].
Boney, Will; Vasey, Sebastien (2014). „Poskromienie i ramy ponownie”. arXiv : 1406.5980v4 [ matematyka. LO ].