Półmoduł

W matematyce półmoduł na półpierścieniu R jest jak moduł na pierścieniu, z wyjątkiem tego, że jest raczej monoidem przemiennym niż grupą abelową .

Definicja

Formalnie lewy półmoduł R - składa się z napisanego addytywnie monoidu przemiennego M i mapy od M do M spełniającej następujące aksjomaty: ${\ Displaystyle R \ razy M}$

${\ Displaystyle r (m + n) = rm + rn}$
${\ Displaystyle (r + s) m = rm + sm}$
${\ Displaystyle (rs) m = r (sm)}$
${\ displaystyle 1m = m}$
${\ Displaystyle 0_ {R} m = r0_ {M} = 0_ {M}}$ .

Prawy półmoduł R można zdefiniować podobnie. W przypadku modułów na pierścieniu ostatni aksjomat wynika z pozostałych. Nie dotyczy to półmodułów.

Przykłady

Jeśli R jest pierścieniem , to każdy R -moduł jest R -półmodułem. I odwrotnie, z drugiego, czwartego i ostatniego aksjomatu wynika, że (-1) $pierścieniu jest$ jest addytywną odwrotnością m dla wszystkich rzeczywistości modułem . Każdy półpierścień jest lewym i prawym półmodułem nad sobą w taki sam sposób, w jaki pierścień jest lewym i prawym modułem nad sobą. Każdy monoid przemienny jest wyjątkowo ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $modułem$ sam sposób, w jaki grupa abelowa jest .

Golan, Jonathan S. (1999), „Semimodules over semirings” , Semirings and their Applications , Dordrecht: Springer Netherlands, s. 149–161, ISBN 978-90-481-5252-0 , dostęp 22.02.2022