Płomień Burke-Schumanna

Podczas spalania płomień Burke-Schumanna jest rodzajem płomienia dyfuzyjnego , powstającego u wylotu dwóch koncentrycznych kanałów, poprzez wydzielanie odpowiednio paliwa i utleniacza z dwóch regionów. Jej nazwa pochodzi od SP Burke i TEW Schumanna, którzy byli w stanie przewidzieć wysokość i kształt płomienia za pomocą prostej analizy nieskończenie szybkiej chemii (która jest obecnie nazywana granicą Burke-Schumanna ) w 1928 r. Na pierwszym sympozjum poświęconym spalaniu .

Opis matematyczny

Rozważmy cylindryczny kanał z osią wzdłuż $,$ o promieniu $z$ a wylot rury znajduje się w punkcie $\ displaystyle z = 0}$ . Utleniacz jest podawany $wzdłuż$ tej samej osi, ale w koncentrycznej rurze o promieniu zewnątrz rury paliwowej. Niech ułamek masowy w przewodzie paliwowym wyniesie , a ułamek masowy tlenu w przewodzie zewnętrznym wyniesie ${O}$$}$ . Mieszanie paliwa i tlenu zachodzi w regionie ${\ displaystyle z> 0}$ . W analizie przyjęto następujące założenia:

• Średnia prędkość jest równoległa do osi ( $\$ ) kanałów, $Displaystyle \ mathbf {v} = v \ mathbf {e} _ {z}}$
• Strumień masy w kierunku osiowym jest stały, $\ Displaystyle \ rho v = \ operatorname {stała}}$
• Dyfuzja osiowa jest pomijalna w porównaniu z dyfuzją poprzeczną/promieniową
• Płomień pojawia się nieskończenie szybko ( granica Burke-Schumanna ), dlatego płomień pojawia się jako arkusz reakcji , na którym zmieniają się właściwości przepływu
• Pominięto wpływ grawitacji

Rozważ jednoetapowe nieodwracalne prawo Arrheniusa , $Displaystyle \ operatorname {paliwo} + s \ operatorname {O} _ { 2} \ rightarrow (1 + s) \ operatorname {Produkty} + q}$$,$ gdzie masą tlenu potrzebną do spalenia jednostkowej masy paliwa i jest ilością uwolnionego ciepła ${\ displaystyle s}$ na jednostkę masy spalonego paliwa. Jeśli jest to masa spalonego paliwa na jednostkę objętości w jednostce czasu i wprowadzenie bezwymiarowego paliwa i ułamka masowego oraz parametru stechiometrycznego, ${\ displaystyle \ omega}$

${\ Displaystyle y_ {F} = {\ Frac {Y_ {F}} {Y_ {Fo}} },\quad y_{O}={\frac {Y_{O}}{Y_{Oo}}},\quad S={\frac {sY_{Fo}}{Y_{Oo}}}}$

równania regulujące ułamek masowy paliwa i utleniacza zmniejszają się do

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {\ rho D_ {T}}} {r}} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy r}} \ lewo (r {\ frac {\częściowe y_{F}}{\częściowe r}}\right)-\rho v{\frac {\częściowe y_{F}}{\częściowe z}}={\frac {\omega}}{Y_{ Fo}}}\\{\frac {\rho D_{T}}{r}}{\frac {\częściowy }{\częściowy r}}\left(r{\frac {\częściowy y_{O}}{ \częściowy r}}\right)-\rho v{\frac {\częściowy y_{O}}{\częściowy z}}=S{\frac {\omega}{Y_{Fo}}}\\\end{ wyrównany}}}$

gdzie zakłada $liczba$$, że$ Lewisa obu gatunków jest jednością i się, że jest stała dyfuzyjnością cieplną . Warunki brzegowe problemu to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ tekst {w}} \, & z = 0, \, 0 <r <a, \, y_ {F} = 1 ,\,y_{O}=0,\\{\text{at}}\,&z=0,\,a<r<b,\,y_{F}=0,\,y_{O}=1 ,\\{\text{at}}\,&r=b,\,0<z<\infty ,\,{\frac {\częściowy y_{F}}{\częściowy r}}=0,\,{ \frac {\częściowe y_{O}}{\częściowe r}}=0.\end{wyrównane}}}$

Równanie można połączyć liniowo, aby wyeliminować nieliniowy składnik reakcji i rozwiązać dla nowej zmiennej ${\ Displaystyle \ omega / Y_ {Fo}}$

$\ Displaystyle Z = {\ Frac {Sy_ {F} -y_ {O} + 1} {S + 1}}}$ ,

gdzie jest $ułamek$ jako mieszaniny . Frakcja mieszaniny przyjmuje wartość jedności w strumieniu paliwa i zero w strumieniu utleniacza i jest polem skalarnym, na które reakcja nie ma wpływu. Równanie spełnione przez ${\ displaystyle Z}$ jest

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {r}} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy r}} \ left(r{\frac {\częściowe Z}{\częściowe r}}\right)-{\frac {\rho v}{\rho D_{T}}}{\frac {\częściowe Z}{\częściowe z }}=0}$

(Jeśli liczby Lewisa paliwa i utleniacza nie są równe jedności, to równanie spełnione przez $jest$ nieliniowe, jak wynika ze sformułowania Shvab – Zeldovich – Liñán . Przedstawiamy następującą transformację współrzędnych

${\ Displaystyle \ xi = {\ Frac {r} {b}}, \ quad \ eta = {\ Frac {\ rho D_ { T}}{\rho v}}{\frac {z}{b^{2}}},\quad c={\frac {a}{b}}}$

redukuje równanie do

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ xi}} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy \ xi}} \ lewo (\ xi {\ frac {\ częściowe Z} {\ częściowe \ xi}} \ right) - {\ frac {\ częściowe Z} {\ częściowe \ eta}} = 0.}$

Odpowiednie warunki brzegowe stają się

${\ Displaystyle {\ rozpocząć { wyrównany}{\text{at}}\,&\eta =0,\,0<\xi <c,\,Z=1,\\{\text{at}}\,&\eta =0,\ ,c<\xi <1,\,Z=0,\\{\text{at}}\,&\xi =1,\,0<\eta <\infty ,\,{\frac {\częściowe Z }{\częściowy \xi }}=0.\end{wyrównany}}}$

Równanie można rozwiązać, rozdzielając zmienne

${\ Displaystyle Z ( \xi ,\eta )=c^{2}+2c\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}}}{\frac {J_{1} (c\lambda _{n})}{J_{0}^{2}(\lambda _{n})}}J_{0}(\lambda _{n}\xi)e^{-\lambda _ {n}^{2}\eta}}$

gdzie i są ${\ Displaystyle J_ {1} (\ lambda) = 0.}$ pierwszego $są$ i $($$tym$ _ Rozwiązanie można również uzyskać dla kanałów płaskich zamiast omówionych tutaj kanałów osiowosymetrycznych.

Kształt i wysokość płomienia

W granicy Burke-Schumanna płomień jest uważany za cienką warstwę reakcyjną, na zewnątrz której zarówno paliwo, jak i tlen nie mogą istnieć razem, tj. ${\ Displaystyle y_ {F} y_ {O} = 0}$ . Sam arkusz reakcyjny znajduje się przy powierzchni stechiometrycznej, gdzie innymi słowy, gdzie ${\ Displaystyle Sy_ {F} = y_ {O}}$

${\ Displaystyle Z = Z_ {s} \ równoważnik {\ Frac {1} {S + 1}}}$

gdzie $mieszaniny$ frakcją stechiometryczną Arkusz reakcyjny oddziela obszar paliwa i utleniacza. Wewnętrzna struktura arkusza reakcyjnego jest opisana równaniem Liñána . Po stronie paliwa arkusza reakcyjnego ( ${\ Displaystyle Z> Z_ {s}}$ )

${\ Displaystyle y_ {F} = {\ Frac {ZZ_ {s}} {1-Z_ {s}}}, \, y_ {O} =0}$

i po stronie utleniacza ( ${\ displaystyle Z <Z_ {s}}$ )

${\ Displaystyle y_ {F} = 0, \, y_ {O} = 1 - {\ Frac {Z} {Z_ {s}}}.}$

Dla danych wartości (lub, $)$${\ Displaystyle S}$${ \displaystyle Z(\xi ,\eta )=Z_{s}}$ do $\ Displaystyle c}$ , kształt płomienia jest określony przez , tj.

${\ Displaystyle Z_ {s} = c ^ {2} + 2c \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {\ lambda _ {n}}} {\ Frac {J_ {1 }(c\lambda _{n})}{J_{0}^{2}(\lambda _{n})}}J_{0}(\lambda _{n}\xi )e^{-\lambda _{n}^{2}\eta}.}$

Z ${\ Displaystyle Z_ {s} \ rightarrow 0}$ ( ${\ Displaystyle S \ rightarrow \ infty} )$ płomień rozciąga się od ujścia dętki i przyczepia się do dętki zewnętrznej przy pewnym wysokość ( niedowietrzona obudowa $( )$$,$ kiedy płomień zaczyna od ujścia dętki i oś na pewnej wysokości od ust ( przypadek z nadmierną wentylacją ). Ogólnie wysokość płomienia uzyskuje się przez rozwiązanie dla $dla$ równania po ustawieniu niedowietrzonej obudowy i $displaystyle$$xi = 0}$ dla nadmiernie wentylowanej obudowy.

Ponieważ wysokości płomienia są na ogół duże, aby wyrazy wykładnicze w szeregu były pomijalne, jako pierwsze przybliżenie wysokość płomienia można oszacować, zachowując tylko pierwszy wyraz szeregu. To przybliżenie przewiduje wysokość płomienia dla obu przypadków w następujący sposób

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ eta & = {\ Frac {1} {\ lambda _ { 1}^{2}}}\ln \left[{\frac {2cJ_{1}(c\lambda _{1})}{(Z_{s}-c^{2})\lambda _{1} J_{0}(\lambda _{1})}}\right],\quad {\text{niedostateczna wentylacja}}\\\eta &={\frac {1}{\lambda _{1}^{ 2}}}\ln \left[{\frac {2cJ_{1}(c\lambda _{1})}{(Z_{s}-c^{2})\lambda _{1}J_{0} ^{2}(\lambda _{1})}}\right],\quad {\text{nadmierna wentylacja}},\end{wyrównane}}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ lambda _ {1} = 3,8317.}$