Paradoks Bertranda (prawdopodobieństwo)
Paradoks Bertranda jest problemem klasycznej interpretacji teorii prawdopodobieństwa . Joseph Bertrand przedstawił to w swojej pracy Calcul des probabilités (1889), jako przykład pokazujący, że zasada obojętności może nie dawać określonych, dobrze zdefiniowanych wyników dla prawdopodobieństw, jeśli jest stosowana bezkrytycznie, gdy dziedzina możliwości jest nieskończona.
Sformułowanie problemu przez Bertranda
Paradoks Bertranda jest ogólnie przedstawiony w następujący sposób: Rozważmy trójkąt równoboczny wpisany w okrąg . Załóżmy, że cięciwa koła została wybrana losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że cięciwa jest dłuższa niż bok trójkąta?
Bertrand podał trzy argumenty (każdy wykorzystujący zasadę obojętności), wszystkie pozornie ważne, ale dające różne wyniki:
- Metoda „losowych punktów końcowych”: Wybierz dwa losowe punkty na obwodzie koła i narysuj łączącą je cięciwę. Aby obliczyć prawdopodobieństwo, wyobraź sobie trójkąt obrócony tak, że jego wierzchołek pokrywa się z jednym z punktów końcowych cięciwy. Zauważ, że jeśli drugi punkt końcowy cięciwy leży na łuku między punktami końcowymi boku trójkąta przeciwnego do pierwszego punktu, cięciwa jest dłuższa niż bok trójkąta. wynosi 1/3 Długość łuku to jedna trzecia obwodu koła, więc prawdopodobieństwo, że przypadkowa cięciwa jest dłuższa niż bok wpisanego trójkąta, .
- Metoda „losowego punktu promieniowego”: Wybierz promień okręgu, wybierz punkt na promieniu i skonstruuj cięciwę przechodzącą przez ten punkt i prostopadłą do promienia. Aby obliczyć prawdopodobieństwo, wyobraź sobie trójkąt obrócony tak, że bok jest prostopadły do promienia. Cięciwa jest dłuższa niż bok trójkąta, jeśli wybrany punkt znajduje się bliżej środka okręgu niż punkt, w którym bok trójkąta przecina promień. 1/2 na pół, dlatego prawdopodobieństwo , że przypadkowa cięciwa jest dłuższa niż bok wpisanego trójkąta, wynosi .
- Metoda „losowego punktu środkowego”: wybierz punkt w dowolnym miejscu okręgu i utwórz cięciwę z wybranym punktem jako środkiem. Cięciwa jest dłuższa niż bok wpisanego trójkąta 1/2 , jeśli wybrany punkt mieści się w koncentrycznym okręgu o promieniu promienia większego okręgu. Pole mniejszego koła jest 1/4 równe jednej czwartej pola większego koła, dlatego prawdopodobieństwo, że losowa cięciwa jest dłuższa niż bok wpisanego trójkąta, wynosi .
Te trzy metody selekcji różnią się wagą, jaką nadają akordom będącym średnicami . Problemu tego można uniknąć poprzez „uregulowanie” problemu w taki sposób, aby wykluczyć średnice, bez wpływu na wynikowe prawdopodobieństwa. Ale jak pokazano powyżej, w metodzie 1 każdy cięciwę można wybrać dokładnie w jeden sposób, niezależnie od tego, czy jest to średnica, czy nie; w metodzie 2 każdą średnicę można wybrać na dwa sposoby, podczas gdy każdy inny cięciwę można wybrać tylko na jeden sposób; aw metodzie 3 każdy wybór punktu środkowego odpowiada pojedynczej cięciwie, z wyjątkiem środka koła, który jest środkiem wszystkich średnic.
Wykresy rozrzutu przedstawiające symulowane rozkłady Bertranda, punkty środkowe/akordy wybrane losowo przy użyciu powyższych metod.
Znaleziono inne metody selekcji. W rzeczywistości istnieje ich nieskończona rodzina.
Klasyczne rozwiązanie
Klasyczne rozwiązanie problemu (przedstawione np. we własnej pracy Bertranda) opiera się na metodzie wybierania akordu „na chybił trafił”. Argumentem jest to, że jeśli zostanie określona metoda losowania, problem będzie miał dobrze zdefiniowane rozwiązanie (określone przez zasadę obojętności). Trzy rozwiązania przedstawione przez Bertranda odpowiadają różnym metodom selekcji, a wobec braku dalszych informacji nie ma powodu, aby preferować jedno z nich; w związku z tym problem, jak stwierdzono, nie ma unikalnego rozwiązania.
Rozwiązanie Jaynesa wykorzystujące zasadę „maksymalnej ignorancji”.
W swoim artykule „The Well-Posed Problem” z 1973 r. Edwin Jaynes zaproponował rozwiązanie paradoksu Bertranda, oparte na zasadzie „maksymalnej ignorancji” - że nie powinniśmy wykorzystywać żadnych informacji, które nie są podane w opisie problemu. Jaynes zwrócił uwagę, że problem Bertranda nie określa położenia ani rozmiaru koła i argumentował, że dlatego każde określone i obiektywne rozwiązanie musi być „obojętne” na rozmiar i położenie. Innymi słowy: rozwiązanie musi być niezmienne zarówno pod względem skali , jak i translacji .
Aby to zilustrować: załóżmy, że akordy są układane losowo na kole o średnicy 2, powiedzmy, rzucając na nie słomki z daleka i przekształcając je w akordy poprzez rozszerzenie/ograniczenie. Teraz kolejne koło o mniejszej średnicy (np. 1,1) jest układane w większym kole. Następnie rozkład akordów na tym mniejszym kole musi być taki sam, jak ograniczony rozkład akordów na większym kole (ponownie przy użyciu rozszerzenia/ograniczenia generujących słomek). Tak więc, jeśli mniejszy okrąg zostanie przesunięty w obrębie większego koła, ograniczona dystrybucja nie powinna się zmienić. Można bardzo łatwo zauważyć, że nastąpiła zmiana dla metody 3: rozkład akordów na małym czerwonym kółku wygląda jakościowo inaczej niż rozkład na dużym kole:
To samo dotyczy metody 1, chociaż trudniej jest to zobaczyć w reprezentacji graficznej. Metoda 2 jest jedyną, która jest zarówno niezmienna dla skali, jak i niezmienna dla translacji; metoda 3 jest po prostu niezmienna w skali, metoda 1 nie jest żadna.
Jednak Jaynes nie tylko użył niezmienników do zaakceptowania lub odrzucenia danych metod: pozostawiłoby to możliwość, że istnieje inna, jeszcze nie opisana metoda, która spełniałaby jego zdroworozsądkowe kryteria. Jaynes użył równań całkowych opisujących niezmienniki, aby bezpośrednio określić rozkład prawdopodobieństwa. W tym problemie równania całkowe rzeczywiście mają unikalne rozwiązanie i jest to dokładnie to, co powyżej nazwano „metodą 2”, losowego promienia .
W artykule z 2015 roku Alon Drory argumentował, że zasada Jaynesa może również przynieść dwa pozostałe rozwiązania Bertranda. Drory argumentuje, że matematyczna implementacja powyższych właściwości niezmienności nie jest wyjątkowa, ale zależy od podstawowej procedury losowego wyboru, której się używa (jak wspomniano powyżej, Jaynes użył metody rzucania słomą, aby wybrać losowe akordy). Pokazuje, że każde z trzech rozwiązań Bertranda można wyprowadzić za pomocą niezmienności rotacyjnej, skalującej i translacyjnej, dochodząc do wniosku, że zasada Jaynesa podlega interpretacji tak samo, jak sama zasada obojętności .
Na przykład możemy rozważyć rzucenie strzałką w okrąg i narysowanie cięciwy, której środkiem jest wybrany punkt. Wtedy unikalny rozkład, który jest niezmienny w stosunku do translacji, obrotu i skali, to ten, który nazywa się „metodą 3” powyżej.
Podobnie „metoda 1” jest unikalnym rozkładem niezmiennym dla scenariusza, w którym pokrętło jest używane do wybrania jednego punktu końcowego cięciwy, a następnie ponownie używane do wybrania orientacji cięciwy. Tutaj niezmienniczość, o której mowa, składa się z niezmienniczości obrotowej dla każdego z dwóch spinów. Jest to również unikalny rozkład niezmienników skali i rotacji dla scenariusza, w którym pręt jest umieszczony pionowo nad punktem na obwodzie koła i pozostawiony do opuszczenia do pozycji poziomej (warunek, że wyląduje częściowo wewnątrz koła).
Eksperymenty fizyczne
„Metoda 2” jest jedynym rozwiązaniem, które spełnia niezmienniki transformacji, które są obecne w niektórych układach fizycznych - takich jak mechanika statystyczna i fizyka gazów - w konkretnym przypadku proponowanego przez Jaynesa eksperymentu polegającego na rzucaniu słomek z odległości na mały okrąg. Niemniej jednak można zaprojektować inne praktyczne eksperymenty, które dadzą odpowiedzi zgodnie z innymi metodami. Na przykład, aby dojść do rozwiązania „metody 1”, losowych punktów końcowych , można przymocować tarczę do środka koła i pozwolić wynikom dwóch niezależnych obrotów zaznaczyć punkty końcowe cięciwy. Aby dojść do rozwiązania „metody 3”, można pokryć koło melasą i zaznaczyć pierwszy punkt, na którym ląduje mucha, jako środek cięciwy. Kilku obserwatorów zaprojektowało eksperymenty w celu uzyskania różnych rozwiązań i zweryfikowało wyniki empirycznie.
Notatki
Dalsza lektura
- Clark, Michael (2012), Paradoksy od A do Z (wyd. 3), Routledge , ISBN 978-0-415-53857-2
- Gyenis, Zalan; Rédei, Miklós (1 czerwca 2015), „Defusing Bertrand's Paradox” , British Journal for the Philosophy of Science , 66 (2): 349–373, doi : 10.1093/bjps/axt036 , zarchiwizowane z oryginału w dniu 5 sierpnia 2014 r.