Paradoks Proebstinga

W teorii prawdopodobieństwa paradoks Proebstinga jest argumentem, który wydaje się pokazywać, że kryterium Kelly'ego może prowadzić do ruiny. Chociaż można to rozwiązać matematycznie, rodzi to kilka interesujących kwestii dotyczących praktycznego zastosowania Kelly'ego, zwłaszcza w inwestowaniu. Został nazwany i po raz pierwszy omówiony przez Edwarda O. Thorpa w 2008 roku. Paradoks został nazwany na cześć Todda Proebstinga, jego twórcy.

Oświadczenie o paradoksie

Jeśli prawdopodobieństwo wygranej lub przegranej zakładu jest równe, a wygrana jest równa b-krotności stawki za wygraną, zakład Kelly'ego wynosi:

${\ Displaystyle f ^ {*} = {\ Frac {b-1} {2b}} \!}$

razy bogactwo. Na przykład, jeśli zakład 50/50 daje wygraną 2 do 1, Kelly mówi, aby postawić 25% majątku. Jeśli zakład 50/50 daje wygraną 5 do 1, Kelly mówi, aby postawić 40% majątku.

Załóżmy teraz, że hazardzista otrzymuje wypłatę 2 do 1 i stawia 25%. Co powinien zrobić, jeśli wypłata z nowych zakładów zmieni się na 5 do 1? Powinien wybrać f *, aby zmaksymalizować:

${\ Displaystyle 0,5 \ ln (1,5 + 5f ^ {*}) + 0,5 \ ln (0,75-f ^ {*}) \! }$

ponieważ jeśli wygra, będzie miał 1,5 (0,5 z wygranej 25% zakładu przy kursie 2 do 1) plus 5 f *; a jeśli przegra, musi zapłacić 0,25 z pierwszego zakładu i f * z drugiego. Biorąc pochodną względem f * i ustawiając ją na zero, otrzymujemy:

${\ Displaystyle 5 (0,75-f ^ {*}) = 1,5 + 5f ^ {*} \!}$

które można przepisać:

${\ Displaystyle 2,25 = 10f ^ {*} \!}$

Więc f * = 0,225.

Paradoks polega na tym, że całkowity zakład, 0,25 + 0,225 = 0,475, jest większy niż zakład 0,4 Kelly'ego, jeśli kursy 5 do 1 są oferowane od początku. Jest sprzeczne z intuicją, że obstawiasz więcej, gdy część zakładu ma niekorzystne kursy. Todd Proebsting wysłał e-mail do Eda Thorpa z pytaniem w tej sprawie.

Ed Thorp zdał sobie sprawę, że pomysł można rozszerzyć, aby dać obstawiającemu Kelly niezerowe prawdopodobieństwo, że zostanie zrujnowany. Pokazał, że jeśli graczowi zaoferuje się szanse 2 do 1, potem 4 do 1, potem 8 do 1 i tak dalej (2 ⁿ do 1 dla n = 1 do nieskończoności), Kelly mówi, żeby postawić:

${\ Displaystyle {\ Frac {3 ^ {n-1}} {4 ^ {n}}} \!}$

za każdym razem. Suma wszystkich tych zakładów wynosi 1. Tak więc hazardzista Kelly ma 50% szans na utratę całego swojego majątku.

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli obstawiający postawi zakład Kelly'ego na propozycję 50/50 z wypłatą b ₁ , a następnie zaoferuje mu b ₂ , postawi w sumie:

${\ Displaystyle f ^ {*} = {\ Frac {b_ {2} -1} {2b_ {2}}} + {\ Frac {b_ {1} -1} {4}} \ lewo ({\ Frac { 1}{f_{1}}}-{\frac {1}{f_{2}}}\prawo).\!}$

Pierwszy termin jest tym, na co obstawiający postawiłby, gdyby początkowo zaoferowano mu _{b2 .} Drugi wyraz jest dodatni, jeśli f ₂ > f ₁ , co oznacza, że ​​jeśli wypłata się poprawi, obstawiający według Kelly'ego postawi więcej, niż gdyby zaoferował drugą wypłatę, a jeśli wypłata się pogorszy, postawi mniej, niż gdyby zaoferowano mu dopiero druga wypłata.

Praktyczne zastosowanie

Wiele zakładów ma tę cechę, że wypłaty i prawdopodobieństwa mogą ulec zmianie przed ustaleniem wyniku. Na przykład w zakładach sportowych kurs może zmieniać się kilka razy przed rozpoczęciem wydarzenia i mogą pojawić się wiadomości (takie jak kontuzja lub prognoza pogody), które zmieniają prawdopodobieństwo wyniku. Inwestując, akcje kupione pierwotnie po 20 USD za akcję mogą być teraz dostępne po 10 USD lub 30 USD lub po dowolnej innej cenie. Niektórzy obstawiający sport starają się zarabiać na przewidywaniu zmian kursów, zamiast na przewidywaniu wyników wydarzeń. Niektórzy inwestorzy koncentrują się na możliwych krótkoterminowych ruchach cen papieru wartościowego, a nie na jego długoterminowych fundamentalnych perspektywach.

Klasycznym przykładem inwestowania jest inwestor, który ma limity ekspozycji, powiedzmy, że nie wolno mu ryzykować więcej niż 1 milion USD w jednej akcji. To nie znaczy, że nie może stracić więcej niż 1 milion dolarów. Jeśli kupi akcje za 1 milion dolarów po 20 dolarów i cena wzrośnie do 10 dolarów, może kupić kolejne 500 000 dolarów. Jeśli następnie spadnie do 5 $, może kupić kolejne 500 000 $. Jeśli spadnie do zera, może stracić nieskończoną ilość pieniędzy, mimo że nigdy nie ryzykuje więcej niż 1 milion dolarów.

Rezolucja

Nie ma paradoksu. Kryterium Kelly'ego jest maksymalizacja oczekiwanego tempa wzrostu; tylko w ograniczonych warunkach odpowiada maksymalizacji logarytmu. Jednym z łatwych sposobów na odrzucenie paradoksu jest zauważenie, że Kelly zakłada, że ​​prawdopodobieństwa się nie zmieniają.

Obstawiający Kelly, który wie, że kursy mogą się zmienić, może to uwzględnić w bardziej złożonym zakładzie Kelly. Załóżmy na przykład, że obstawiający Kelly ma jednorazową możliwość postawienia zakładu 50/50 po kursie 2 do 1. Wie, że istnieje 50% szans, że druga jednorazowa okazja zostanie zaoferowana po kursie 5 do 1. Teraz powinien zmaksymalizować:

${\ Displaystyle 0,25 \ ln (1 + 2f_ {1}) + 0,25 \ ln (1-f_ {1}) + 0,25 \ ln (1 + 2f_ {1} + 5f_ {2}) + 0,25 \ ln (1- f_{1}-f_{2})\!}$

w odniesieniu zarówno do f ₁ , jak i f ₂ . Odpowiedzią okazuje się być zakład zero na 2 do 1 i czekanie na szansę na zakład na 5 do 1, w takim przypadku stawiasz 40% majątku. Jeśli prawdopodobieństwo zaoferowania kursu 5 do 1 jest mniejsze niż 50%, pewna kwota od 0 do 25% zostanie postawiona po kursie 2 do 1. Jeśli prawdopodobieństwo zaoferowania kursu 5 do 1 jest większe niż 50%, gracz Kelly w rzeczywistości postawi negatywny zakład przy kursie 2 do 1 (czyli postawi zakład na wynik 50/50 z wypłatą 1/2, jeśli wygra i zapłaci 1, jeśli przegra). W obu przypadkach jego zakład przy kursie 5 do 1, jeśli taka okazja jest oferowana, wynosi 40% minus 0,7 razy jego zakład 2 do 1.

Paradoks polega zasadniczo na tym, że jeśli gracz Kelly ma błędne przekonania na temat tego, jakie przyszłe zakłady mogą być oferowane, może dokonywać nieoptymalnych wyborów, a nawet zbankrutować. Kryterium Kelly'ego ma działać lepiej niż jakakolwiek zasadniczo inna strategia na dłuższą metę i mieć zerową szansę na ruinę, o ile obstawiający zna prawdopodobieństwa i wypłaty.

Więcej światła na tę kwestię rzuciło niezależne rozważenie problemu przez Aarona Browna , przekazane również Edowi Thorpowi pocztą elektroniczną. W tym sformułowaniu zakłada się, że obstawiający najpierw odsprzedaje początkowy zakład, a następnie stawia nowy zakład przy drugiej wypłacie. W tym przypadku jego całkowity zakład wynosi:

${\ Displaystyle f ^ {*} = {\ Frac {b_ {2} -1}{2b_{2}}}-{\frac {b_{1}-1}{4}}\left({\frac {1}{f_{1}}}-{\frac {1}{ f_{2}}}\right){\frac {f_{2}-1}{f_{2}+1}}\!}$

który wygląda bardzo podobnie do powyższego wzoru dla sformułowania Proebstinga, z wyjątkiem tego, że znak jest odwrócony na drugim członie i jest mnożony przez dodatkowy człon.

Na przykład, biorąc pod uwagę oryginalny przykład wypłaty 2 do 1, po której następuje wypłata 5 do 1, w tym sformułowaniu obstawiający najpierw stawia 25% majątku po stawce 2 do 1. Kiedy zaoferowana jest wypłata 5 do 1, obstawiający może sprzedać obrócić pierwotny zakład za stratę 0,125. Jego zakład 2 do 1 wypłaca 0,5, jeśli wygrywa, i kosztuje 0,25, jeśli przegra. Przy nowej wypłacie 5 do 1 mógłby otrzymać zakład, który wypłaca 0,625 w przypadku wygranej i kosztuje 0,125 w przypadku przegranej, czyli o 0,125 więcej niż jego pierwotny zakład w obu stanach. Dlatego jego pierwotny zakład ma teraz wartość -0,125. Biorąc pod uwagę jego nowy poziom bogactwa wynoszący 0,875, jego 40% zakład (kwota Kelly'ego dla wypłaty 5 do 1) wynosi 0,35.

Oba preparaty są równoważne. W pierwotnym sformułowaniu obstawiający stawia 0,25 przy 2 do 1 i 0,225 przy 5 do 1. Jeśli wygra, otrzyma 2,625, a jeśli przegra, to 0,525. W drugim sformułowaniu obstawiający stawia 0,875 i 0,35 przy stosunku 5 do 1. Jeśli wygra, otrzymuje 2,625, a jeśli przegra, ma 0,525.

Drugie sformułowanie wyjaśnia, że ​​zmiana zachowania wynika ze straty rynkowej, jakiej doświadcza inwestor, gdy oferowana jest nowa wypłata. Jest to naturalny sposób myślenia w finansach, mniej naturalny dla hazardzisty. W tej interpretacji nieskończona seria podwajających się wypłat nie rujnuje gracza Kelly'ego, zachęcając go do obstawiania, ale wydobywa całe jego bogactwo poprzez zmiany, na które nie ma wpływu.