Paradoks wino/woda

Aby zapoznać się z zagadką mieszania płynów o podobnej nazwie, zobacz Problem mieszania wina z wodą .

wino /woda jest pozornym paradoksem teorii prawdopodobieństwa. Stwierdza to Michael Deakin w następujący sposób:

$x$${\ Displaystyle 1 /3\leq x\leq 3}$ że ilość wina podzielona przez ilość wody jest stosunkiem mieszczącym się w przedziale (tj. 25-75% wina). Szukamy prawdopodobieństwa, $Displaystyle$ , że $^ {\ ast}}$ . (tj. mniejszy lub równy 66%).

$i$ paradoksu jest znalezienie spójnych uzasadnionych równoczesnych $wcześniejszych$ rozkładów dla

Obliczenie

Ta kalkulacja jest demonstracją paradoksalnej konkluzji przy korzystaniu z zasady obojętności .

Podsumowując, nie znamy $stosunku$ do wody. Biorąc pod uwagę powyższe liczby, wiadomo tylko, że mieści się on w przedziale między minimum jednej czwartej wina na trzy czwarte wody na jednym końcu (tj. 25% wina), a maksimum trzech czwartych wina na jedną czwartą wody na inne (tj. 75% wina). Pod względem wskaźników ${\ textstyle x _ {\ operatorname {min}} = {\ Frac {1/4} {3/4}} = {\ Frac { 1}{3}}}$ odp. ${\ textstyle x _ {\ operatorname {max}} = {\ Frac {3/4} {1/4}$ .

Teraz, korzystając z zasady obojętności, możemy założyć, że $rozkład$ równomierny. Wtedy szansa na znalezienie współczynnika poniżej dowolnego ustalonego progu $t$${$$x _ {\ operatorname {\$ za , powinno liniowo zależeć od wartości ${\ displaystyle x_ {t}}$ . Zatem wartością prawdopodobieństwa jest liczba

Prob ${\ Displaystyle \ {x \ równoważnik x_ {t} \} = {\ Frac {x_ {t} -x _ {\ operatorname {min}}} {x_ {\ operatorname {max}} -x_ {\ operatorname {min} }}}={\frac {1}{8}}(3x_{t}-1).}$

Jako funkcja wartości progowej jest to liniowo rosnąca funkcja, czyli odpowiednio . $x_ {t}}$${\ displaystyle$${\ Displaystyle 1}$ w punktach końcowych odpowiednio ${\ textstyle x _ {\ operatorname {min}}}$${\ textstyle x _ {\ operatorname {maks.}}}$ .

$Rozważ$ próg przykładzie oryginalnego sformułowania To dwie części wina w stosunku do jednej części wody, czyli 66% wina. Z tego dochodzimy do wniosku, że

Prob ${\ Displaystyle \ {x \ równoważnik 2 \} = {\ Frac {1} {8}} (3 \ cdot 2-1) = {\frac {5}{8}}}$ .

$.$ teraz wody do wina, ale równoważny próg mieszanki wino / Leży między odwróconymi granicami. Ponownie korzystając z zasady obojętności, otrzymujemy

Prob ${\ Displaystyle \ {y \ geq y_ { t}\}={\frac {x_{\mathrm {max}}(1-x_{\namerm {min}}\,y_{t})}{x_{\namerm {max}}-x_{\mathrm {min} }}}={\frac {3}{8}}(3-y_{t})}$ .

Jest to funkcja, która jest odpowiednio ${\ displaystyle 0}$ . ${\ Displaystyle 1}$ w punktach końcowych odpowiednio ${\ Displaystyle 3}$${\ textstyle {\ Frac {1} {3}}}$ .

Teraz biorąc odpowiedni próg ${\ textstyle y_ {t} = {\ frac {1} {x_ {t}}} = {\ frac {1}{2}}}$ (także pół tyle samo wody co wina). Wnioskujemy, że

Prawdopodobieństwo ${\ Displaystyle \ lewo \ {y \ geq {\ tfrac {1} {2}} \ prawo \} = { \frac {3}{8}}{\frac {3\cdot 2-1}{2}}={\frac {15}{16}}={\frac {3}{2}}{\frac { 5}{8}}}$ .

Drugie prawdopodobieństwo zawsze przekracza pierwsze o współczynnik ${\ textstyle {\ frac {x _ {\ operatorname {max}}} {x_ {t}}} \ geq 1}$ . W naszym przykładzie liczby to ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ .

Wniosek paradoksalny

Ponieważ ${\textstyle y={\frac {1}{x}}}$ , otrzymujemy

${\ Displaystyle {\ Frac {5} {8}} = \ nazwa operatora {Prób} \ {x \leq 2\}=P^{*}=\nazwa operatora {prawda} \left\{y\geq {\frac {1}{2}}\right\}={\frac {15}{16}}> {\frac {5}{8}}}$ ,

sprzeczność.