Problem z mieszaniem wina z wodą
W przypadku mieszania wina z wodą jeden zaczyna się od dwóch beczek , z których jedna zawiera wino , a druga taką samą objętość wody . Filiżanka wina jest pobierana z beczki i dodawana do wody. Filiżanka mieszanki wina i wody jest następnie ponownie umieszczana w beczkach z winem, tak aby objętości w beczkach znów były równe. Powstaje zatem pytanie – która z tych dwóch mieszanin jest czystsza? Odpowiedź jest taka, że mieszaniny będą miały jednakową czystość. Rozwiązanie to nadal obowiązuje bez względu na to, ile filiżanek o dowolnym rozmiarze i składzie jest wymienianych lub jak mało lub jak mocno miesza się w dowolnym momencie w dowolnej beczce, o ile na końcu każda beczka ma taką samą ilość płynu.
Problem można rozwiązać za pomocą logiki i bez uciekania się do obliczeń . Nie jest konieczne podawanie objętości wina i wody, o ile są one równe. Objętość kubka nie ma znaczenia, podobnie jak mieszanie mieszanin.
Rozwiązanie
Zachowanie substancji oznacza, że objętość wina w beczce zawierającej głównie wodę musi być równa objętości wody w beczce zawierającej głównie wino.
Mieszanki można wizualizować jako podzielone na składniki wody i wina:
| Beczka oryginalnie z winem | Beczka oryginalnie z wodą |
|---|---|
| Wino: W 0 | Woda: W 0 |
|
→
Przesuń V 1 wina w prawo |
|
| 0 Wino: V – V 1 | 0 Woda: V , Wino: V 1 |
|
←
Przesuń V 1 mieszanki (składającej się z V 2 wina i V 1 – V 2 wody) w lewo |
|
| 0 Wino: V – V 1 + V 2 , Woda: ( V 1 – V 2 ) | 0 Woda: V – ( V 1 – V 2 ), Wino: V 1 – V 2 |
|
Czystość wina = 0 V – V 1 + V 2 / 0 ( V – V 1 + V 2 ) + ( V 1 – V 2 )
= 0 V – V 1 + V 2 / V 0 |
Czystość wody = 0 V – ( V 1 – V 2 ) / 0 ( V – ( V 1 – V 2 )) + ( V 1 – V 2 )
= 0 V – V 1 + V 2 / V 0 |
Aby pomóc w zrozumieniu tego, wino i woda mogą być reprezentowane przez, powiedzmy, odpowiednio 100 czerwonych i 100 białych kulek . Jeśli, powiedzmy, 25 czerwonych kulek zostanie zmieszanych z białymi kulkami, a 25 kulek dowolnego koloru wróci do czerwonego pojemnika, to znowu w każdym pojemniku będzie 100 kulek. Jeśli w czerwonym pojemniku jest teraz x białych kulek, to w białym pojemniku musi być x czerwonych kulek. Mieszaniny będą zatem miały jednakową czystość. Przykład jest pokazany poniżej.
| Pojemnik z czerwonego marmuru | Pojemnik z białego marmuru |
|---|---|
| 100 (wszystkie czerwone) | 100 (wszystkie białe) |
|
→
Przesuń 25 (wszystkie czerwone) w prawo |
|
| 75 (wszystkie czerwone) | 125 (100 białych, 25 czerwonych) |
|
←
Przesuń 25 (20 białych, 5 czerwonych) w lewo |
|
| 100 (80 czerwonych, 20 białych) | 100 (80 białych, 20 czerwonych) |
Historia
Zagadka ta została wspomniana przez WW Rouse Balla w trzecim wydaniu jego książki Mathematical Recreations And Problems Of Past And Present Times z 1896 roku i podobno była ulubionym problemem Lewisa Carrolla .