Parametr lokalny

W geometrii złożonych krzywych algebraicznych lokalnym parametrem krzywej C w gładkim punkcie P jest meromorficzna funkcja na C , która ma proste zero w P. Koncepcję tę można uogólnić na krzywe zdefiniowane na polach innych niż ${\ displaystyle \mathbb {C} }$ (lub schemas ), ponieważ lokalny pierścień w punkcie gładkim P krzywej algebraicznej C (zdefiniowanej na ciało algebraicznie domknięte ) jest zawsze dyskretnym pierścieniem wartościowania . Ta wycena pokaże sposób obliczenia rzędu (w punkcie P ) funkcji wymiernych (które są naturalnymi uogólnieniami funkcji meromorficznych w dziedzinie niezłożonej) mających zero lub biegun w P .

Parametry lokalne, jak sama nazwa wskazuje, służą głównie do prawidłowego liczenia krotności w sposób lokalny.

Wstęp

Jeśli C jest złożoną krzywą algebraiczną, policz krotności zer i biegunów zdefiniowanych na niej funkcji meromorficznych. Jednak podczas omawiania krzywych zdefiniowanych na polach innych niż , jeśli nie ma dostępu do potęgi analizy zespolonej, należy znaleźć zamiennik w celu zdefiniowania krotności zer i biegunów wymiernych do {\ $\ mathbb {C}}$ funkcje zdefiniowane na takich krzywych. W tym ostatnim przypadku powiedzmy, że zarodek funkcji regularnej znika w ${\ displaystyle P \ w C$$,$ jeśli ${\ Displaystyle f \ w m_ {P} \ podzbiór {\ mathcal {O}} _ {C, P}}$ . Jest to w zupełnej analogii do złożonego przypadku, w którym ideał maksymalny pierścienia lokalnego w punkcie P jest w rzeczywistości zgodny z zarodkami funkcji holomorficznych zanikających w punkcie P.

Funkcja wyceny na jest dana przez ${C, P}}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {ord} _ {P} (f) = \ max \ {d = 0,1,2, \ ldots: f \ w m_ {P} ^ {d} \};}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {C, P} }$ można naturalnie rozszerzyć na K ( do ) (który jest polem funkcji wymiernych C), ponieważ jest to pole ułamków do . $w$ pomysł posiadania prostego zera w punkcie P teraz kompletny: będzie to funkcja wymierna ​​​​jej zarodek ${\ Displaystyle m_ {P} ^ {d}}$ z d co najwyżej 1.

Ma to algebraiczne podobieństwo do koncepcji parametru uniformizującego (lub po prostu uniformizatora ) występującej w kontekście dyskretnych pierścieni wartościowania w algebrze przemiennej ; parametr uniformizujący dla DVR ( R, m ) jest po prostu generatorem ideału maksymalnego m . Powiązanie wynika z faktu, że parametr lokalny w P będzie parametrem ujednolicającym dla DVR ( ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {C, P}}$ , ${\ Displaystyle m_ {P}}$ ), skąd nazwa.

Definicja

Niech C będzie krzywą algebraiczną zdefiniowaną na algebraicznie zamkniętym ciele K i niech K ( C ) będzie ciałem funkcji wymiernych C . Wycena na K ( do $P.$ punktowi jako P ${\ Displaystyle \ operatorname {ord} _ {P} (f / g) = \ operatorname {ord} _ {P} (f) - \ operatorname {ord} _ {P} (g)}$ , gdzie $O$ jest zwykłą wyceną na lokalnym pierścieniu ( $\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {C, P}$ , ${\ displaystyle m_ {P}}$ ). Lokalnym parametrem dla C w P jest funkcja ${\ Displaystyle t \ w K (C)}$ takie, że ${\ Displaystyle \ operatorname {ord} _ {P} (t) = 1}$ .