Pięciokrotna tożsamość produktu

W matematyce tożsamość iloczynu pięciokrotnego Watsona jest nieskończoną tożsamością iloczynu wprowadzoną przez Watsona ( 1929 ) i odkrytą na nowo przez Baileya (1951) i Gordona (1961) . Jest to analogiczne do potrójnej tożsamości produktu Jacobiego i jest tożsamością Macdonalda dla pewnego niezredukowanego afinicznego systemu korzeniowego . Jest to powiązane z twierdzeniem Eulera o liczbach pięciokątnych .

Oświadczenie

${\ Displaystyle \ prod _ {n \ geq 1} (1-s ^ {n}) (1-s ^{n}t)(1-s^{n-1}t^{-1})(1-s^{2n-1}t^{2})(1-s^{2n-1}t ^{-2})=\suma _{n\in \mathbf {Z} }s^{(3n^{2}+n)/2}(t^{3n}-t^{-3n-1} )}$

•    Bailey, WN (1951), „O uproszczeniu niektórych tożsamości typu Rogersa-Ramanujana”, Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 1 : 217–221, doi : 10.1112/plms/s3-1.1.217 , ISSN 0024-6115 , MR 0043839
•     Carlitz, L .; Subbarao, MV (1972), „Prosty dowód tożsamości pięciokrotnego produktu”, Proceedings of the American Mathematical Society , 32 : 42–44, doi : 10.2307/2038301 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2038301 , MR 0289316
•    Gordon, Basil (1961), „Niektóre tożsamości w analizie kombinatorycznej”, The Quarterly Journal of Mathematics , Second Series, 12 : 285–290, doi : 10.1093/qmath/12.1.285 , ISSN 0033-5606 , MR 0136551
•    Watson, GN (1929), „Twierdzenia sformułowane przez Ramanujana. VII: Twierdzenia o ułamkach ciągłych”, Journal of the London Mathematical Society , 4 (1): 39–48, doi : 10.1112/jlms/s1-4.1.39 , ISSN 0024-6107 , JFM 55.0273.01
• Foata, D. i Han, GN (2001). Ponowna analiza potrójnych, pięciokrotnych i siedmiokrotnych tożsamości produktów. W The Andrews Festschrift (s. 323–334). Springera, Berlina, Heidelberga.
• Cooper, S. (2006). Pięciokrotna tożsamość produktu. International Journal of Number Theory, 2(01), 115-161.

Dalsza lektura

• Subbarao, MV i Vidyasagar, M. (1970). O pięciokrotnej tożsamości produktu Watsona. Proceedings of the American Mathematical Society, 26 (1), 23-27.
• Hirschhorn, lekarz medycyny (1988). Uogólnienie pięciokrotnej tożsamości produktu. Journal of Australian Mathematical Society, 44(1), 42-45.
• Alladi, K. (1996). Pięciokrotna tożsamość produktu i przesunięte funkcje podziału. Journal of Computational and Applied Mathematics , 68(1-2), 3-13.
• Farkas, H. i Kra, I. (1999). O pięciokrotnej tożsamości produktu. Proceedings of the American Mathematical Society, 127(3), 771-778.
• Chen, WY, Chu, W. i Gu, NS (2005). Skończona forma pięciokrotnej tożsamości produktu. arXiv preprint math/0504277.