Pierścień tautologiczny

W geometrii algebraicznej pierścień tautologiczny jest podpierścieniem pierścienia Chow przestrzeni modułów krzywych generowanych przez klasy tautologiczne. Są to klasy uzyskane z 1 przez pushforward wzdłuż różnych morfizmów opisanych poniżej. Tautologiczny pierścień kohomologii jest obrazem pierścienia tautologicznego pod mapą cykli (od pierścienia Chow do pierścienia kohomologii).

Definicja

Niech $będzie$ stosem modułów stabilnych zaznaczonych $Displaystyle$ takie, że

C jest krzywą zespoloną rodzaju arytmetycznego g , której jedynymi osobliwościami są węzły,

) n punktów x ₁ , ..., x _n to odrębne punkty gładkie C ,

zaznaczona krzywa jest stabilna, a mianowicie jej grupa automorfizmu (pozostawiając zaznaczone punkty niezmienne

jest skończony.

Innymi słowy ( $2 + n > {\ Displaystyle 2g-$ nie należy do (0,0), (0,1), (0,2) sol - 2 +n> ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ then has dimension $3g-3+n$ . Oprócz permutacji zaznaczonych punktów, następujące morfizmy między tymi stosami modułów odgrywają ważną rolę w definiowaniu klas tautologicznych:

Zapominalskie mapy ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n} \ do {\ overline {\ mathcal {M}}} _ { g,n-1}}$ , które działają poprzez usunięcie danego punktu x _k ze zbioru zaznaczonych punktów, a następnie ponowne ustabilizowanie zaznaczonej krzywej, jeśli nie jest ona już stabilna ^{[ wymagane wyjaśnienie ]} .

Mapy klejenia ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n + 1} \ razy {\ overline {\ mathcal {M}}}_{g',n'+1}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g+g',n+n'}} identyfikujące k$ -ty zaznaczony punkt krzywą do l -tego zaznaczonego punktu drugiego. Innym zestawem map klejących jest ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n + 2} \ do {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g + 1, n }}$ , które identyfikują k -ty i l -ty zaznaczone punkty, zwiększając w ten sposób rodzaj, tworząc zamkniętą pętlę.

Pierścienie tautologiczne są jednocześnie definiowane jako najmniejsze podpierścienie ${\ Displaystyle R ^ {\ punktor} ({\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n})}$ Pierścienie chowu zamknięte pod pchnięciem przez zapominalskie i sklejające mapy.

${\ Displaystyle RH ^ {\ punktor} ({\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n})$ sol ${\ Displaystyle R ^ {\ punktor} ({\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n})}$ jest obrazem pod mapą cyklu. Od 2016 r. Nie wiadomo, czy pierścienie kohomologii tautologicznej i tautologicznej są izomorficzne.

Zespół generujący

$sol$ $\ Displaystyle \ psi _ {k} \$ ¯ , w następujący sposób. Niech będzie przesunięciem 1 wzdłuż mapy klejenia $delta _ {k}$ ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n} \ razy {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {0,3} \ do {\ overline {\mathcal {M}}}_{g,n+1}}$ która identyfikuje zaznaczony punkt x _k pierwszej krzywej z jednym z trzech zaznaczonych punktów y _i na kuli (ten drugi wybór jest nieważny dzięki automorfizmom ). Dla pewności uszereguj otrzymane punkty jako x ₁ , ..., x _{k −1} , y ₁ , y ₂ , x _{k +1} , ..., x _n . Następnie $_ {k}} jest$ _{displaystyle \} $2$ jako przesunięcie do przodu punkcie y . Ta klasa pokrywa się z pierwszą klasą Cherna pewnej wiązki linii.

ja ${\ Displaystyle i \ geq 1}$ definiujemy również ${\ Displaystyle \ kappa _ {i} \ w R ^ {\ punktor} ({\ overline {$ być pushforward ${\ Displaystyle (\ psi _ {k}) ^ {i + 1}}$ wzdłuż zapomnianej mapy ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n + 1} \ do {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n}}, który zapomina$ o k -ty punkt. Jest to niezależne od k (po prostu punkty permutacji).

Twierdzenie.

{\ Displaystyle R ^ {\ punktor} ({\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n})}

jest generowany addytywnie przez przesuwanie wzdłuż (dowolnej liczby) klejenia mapy jednomianów w klasach i

kappa}

displaystyle

.

Te przepychanki jednomianów (zwanych dalej klasami podstawowymi) nie stanowią podstawy. Zestaw relacji nie jest w pełni znany.

Twierdzenie. Pierścienie tautologiczne są niezmienne w przypadku odciągania wzdłuż map sklejających i zapominających. Istnieją uniwersalne formuły kombinatoryczne wyrażające pushforward, pullback i iloczyny klas podstawowych jako liniowe kombinacje klas podstawowych.

przypuszczenia Fabera

Pierścień tautologiczny $się$ przestrzeni modułów n - rodzaju g ograniczeń klas w ${\ Displaystyle R ^ {\ punktor} ({\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n})}$ . Pomijamy n , gdy wynosi ono zero (gdy nie ma zaznaczonego punktu).

$bez zaznaczonego punktu Mumford$ przypadku ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} [\ kappa _ {1}, \ kappa _ {2}, \ ldots] \ do H ^ {\ punktor} ({\ mathcal {M} }_{g})}$ $mapy$ i Weiss udowodnili, że dla dowolnej , jest izomorfizmem stopnia d dla wystarczająco dużego g . W tym przypadku wszystkie klasy są tautologiczne.

Przypuszczenie (Faber). (1) Pierścienie tautologiczne dużego stopnia znikają:

{\ Displaystyle R ^ {d} ({\ mathcal {M}} _ {g}) = 0}

dla

{\ displaystyle d> g-2.}

(2)

{\ Displaystyle R ^ {g-2} ({\ mathcal {M}} _ {g}) \ cong \ mathbb {Q } }

i istnieje wyraźny wzór kombinatoryczny dla tego izomorfizmu. (3) Produkt (pochodzący z pierścienia Chow) klas definiuje idealne połączenie

{\ Displaystyle R ^ {d} ({\ mathcal {M}} _ {g}) \ razy R ^ {gd-2} ({\ mathcal {M}} _ {g}) \ do R ^ {g- 2}({\mathcal {M}}_{g})\cong \mathbb {Q} .}

Chociaż ${\ Displaystyle R ^ {d} ({\ mathcal {M}} _ {g})}$ trywialnie znika dla ${\ Displaystyle d> 3g-3}$ z powodu wymiar $przypuszczalna$ granica jest znacznie niższa Przypuszczenie całkowicie określiłoby strukturę pierścienia: wielomian stopnia kohomologicznego d $_ {j}}$ kappa znika wtedy i tylko wtedy, gdy jego parowanie ze wszystkimi wielomianami stopnia kohomologicznego znika . ${\ displaystyle gd-2} .$

Części (1) i (2) przypuszczenia zostały udowodnione. Część (3), zwana także hipotezą Gorensteina, została sprawdzona tylko pod kątem ${\ displaystyle g <24}$ . W przypadku $wyższego$ $kilka$ metod konstruowania relacji między znajduje ten sam zestaw relacji, co sugeruje, że wymiary $\ Displaystyle R^{d}({\mathcal {M}}_{g})}$ i ${\ Displaystyle R ^ {gd-2} ({\ mathcal {M}} _ {g})}$ są różne. Jeśli zestaw relacji znaleziony tymi metodami jest kompletny, to hipoteza Gorensteina jest błędna. Oprócz oryginalnego niesystematycznego wyszukiwania komputerowego Fabera opartego na klasycznych mapach między wiązkami wektorów na $,$ ta włókna uniwersalnej krzywej ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} _ {g} = {\ mathcal {M}} _ {g, 1} \ twoheadrightarrow {\ mathcal {M}} _ {g}} , zastosowano następujące$ metody znaleźć relacje:

Wirtualne klasy przestrzeni modułów stabilnych ilorazów (ponad $przez$ Pandharipande i Pixton

r -spin Wittena i klasyfikacja kohomologicznych teorii pola Giventala-Telemanna, stosowana przez Pandharipande, Pixtona, Zvonkine'a.

$_$ uniwersalnego .

Potęgi dzielnika theta na uniwersalnej odmianie abelowej autorstwa Grushevsky'ego i Zacharowa.

Udowodniono, że te cztery metody dają ten sam zestaw relacji.

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g, n} ^ {\ text {ct}}}$ sformułowano dla $.$ i stabilnych krzywych typu kompaktowego. Jednak $_$ _ ${\ Displaystyle R ^ {\ punktor} ({\ mathcal {M}} _ {2,8} ^ {\ tekst {ct}})}$ nie przestrzegają (analogicznej) hipotezy Gorensteina. Z drugiej strony Tavakol udowodnił, że dla rodzaju 2 przestrzeń modułów stabilnych krzywych racjonalnych ogonów ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {2, n} ^ {\ text {rt}}}$ spełnia warunek Gorensteina dla każdego n .

Zobacz też

Vakil, Ravi (2003), „Przestrzeń modułów krzywych i jej pierścień tautologiczny” (PDF) , Zawiadomienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 50 (6): 647–658, MR 1988577
Graber, Tom; Vakil, Ravi (2001), „Na tautologicznym pierścieniu ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n}}$ " (PDF) , Turkish Journal of Mathematics , 25 (1): 237–243, MR 1829089