Pierwsza odmiana

W matematyce stosowanej i rachunku wariacyjnym pierwsza wariacja funkcjonału J ( y ) jest definiowana jako funkcjonał liniowy odwzorowujący funkcję h na ${\ Displaystyle \ delta J (y)$ y

{\ Displaystyle \ delta J (y, h) = \ lim _ {\ varepsilon \ do 0} {\ Frac {J (y + \ varepsilon h) -J (y)}} {\ varepsilon}} = \ lewo .{\frac {d}{d\varepsilon}}J(y+\varepsilon h)\right|_{\varepsilon =0},}

gdzie y i h to funkcje, a ε to skalar. Jest to rozpoznawalne jako pochodna Gateaux funkcjonału.

Przykład

Oblicz pierwszą odmianę

{\ Displaystyle J (y) = \ int _ {a} ^ {b} yy'dx.}

Z powyższej definicji

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ delta J (y, h) & = \ lewo. {\ Frac {d} {d \ varepsilon} }J(y+\varepsilon h)\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\int _{a}^{b}(y+\ varepsilon h)(y^{\prime }+\varepsilon h^{\prime })\ dx\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.{\frac {d}{d\varepsilon } }\int _{a}^{b}(yy^{\prime }+y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime } )\ dx\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.\int _{a}^{b}{\frac {d}{d\varepsilon }}(yy^{\prime }+ y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime })\ dx\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left .\int _{a}^{b}(yh^{\prime }+y^{\prime }h+2\varepsilon hh^{\prime })\ dx\right|_{\varepsilon =0}\ \&=\int _{a}^{b}(yh^{\prime }+y^{\prime }h)\ dx\end{wyrównane}}}

Zobacz też