Pierwszy lemat izotopowy Thoma

W matematyce, zwłaszcza w topologii różniczkowej , pierwszy izotopowy lemat Thoma stwierdza $S$ biorąc pod uwagę gładką mapę zamkniętym $M}$ podzbiór Podzbiór warstwowy Whitneya , jeśli ${\ displaystyle f | _ {S}}$ jest właściwe i ${\ displaystyle f | _ {A}}$ to zanurzenie dla każdej warstwy ${\ Displaystyle A}$ z ${\ Displaystyle S}$ , a następnie $jest$ trywialnym włóknieniem . Lemat został pierwotnie wprowadzony przez René Thoma , który rozważał przypadek, gdy ${\ displaystyle N = \ mathbb {R}}$ . W takim przypadku lemat konstruuje izotop z włókna ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (a)}$ do ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (b)}$ ; stąd nazwa „lemat izotopowy”.

Lokalne trywializacje, których dostarcza lemat, zachowują warstwy. Jednak na ogół nie są one gładkie ( $nie$ ) Z drugiej strony możliwe jest, że lokalne trywializacje są semialgebraiczne, jeśli dane wejściowe są semialgebraiczne.

Lemat jest również ważny dla bardziej ogólnej przestrzeni warstwowej, takiej jak przestrzeń warstwowa w sensie Mathera, ale nadal z warunkami Whitneya (lub innymi warunkami). Lemat jest również ważny dla stratyfikacji spełniającej warunek Bekki (C), który jest słabszy niż warunek Whitneya (B). (Znaczenie tego jest takie, że konsekwencje pierwszego lematu izotopowego nie mogą sugerować warunku Whitneya (B).)

Drugi lemat izotopowy Thoma jest rodzinną wersją pierwszego lematu izotopowego.

Dowód

Dowód opiera się na pojęciu kontrolowanego pola wektorowego . Niech $\ Displaystyle \ {(T_ {A}, \ pi _ {A}, \ rho _ {A}) \ mid A \}}$ ZA sąsiedztwa rurowe $\$ warstwach $Displaystyle A$ { $w$ S $Displaystyle S}$ gdzie ${\ Displaystyle \ pi _ {A}: T_ {A} \ do A}$ jest powiązaną projekcją i ${\ Displaystyle \ rho _ {A}: T_ { A} \ do [0, \ infty )}$ określone przez kwadratową normę na każdym włóknie ${\ displaystyle \ pi _ {A}}$ . (Konstrukcja takiego systemu opiera się na warunkach Whitneya lub czymś słabszym.) Z definicji kontrolowane pole wektorowe to rodzina pól wektorowych (gładkich pewnej klasy) ${\ Displaystyle \ eta _ {A}}$ ${\ Displaystyle A }$ $w$ taki sposób, że: dla każdej warstwy A istnieje sąsiedztwo ${\ Displaystyle T'_ {A}}$ ZA w $ZA$ ${\ displaystyle B> A$ że dla dowolnego }

{\ Displaystyle \ eta _ {B} \ circ \ rho _ {A} = 0}

{\ Displaystyle (\ pi _ {A })_{*}\eta _{B}=\eta _{A}\circ \pi _{A}}

na ${\ Displaystyle T_ {A} '\ czapka B}$ .

$.$ $)$ system zgodny z mapą istnieje Następnie Thom ma dwa kluczowe wyniki:

Biorąc pod uwagę pole wektorowe $na$ N , istnieje kontrolowane pole wektorowe na S ${\ displaystyle f_ {} *}(\eta )=\zeta \circ f}$ η ${$ .
Kontrolowane pole wektorowe ma ciągły przepływ (pomimo faktu, że kontrolowane pole wektorowe jest nieciągłe).

Lemat następuje teraz w prosty sposób. Ponieważ instrukcja jest lokalna, załóżmy ${$ $R$ współrzędnych n $\ mathbb {R} ^{n}}$ . $na$ podstawie wyniku podnoszenia, znajdujemy $($ takie że ${\ Displaystyle f_ {*} ({\ widetilde {\ częściowe _ {i}}}) = \ częściowe _ {i} \ circ f}$ . Niech ${\ Displaystyle \ varphi _ {i}: \ mathbb {R} \ razy S \ do S}$ będą przepływami z nimi powiązanymi. Następnie zdefiniuj

{\ Displaystyle H: f | _ {S} ^ {- 1} (0) \ razy \ mathbb {R} ^ {n} \ do S}

przez

{\ Displaystyle H (y, t) = \ varphi _ {n} (t_ {n}, \ phi _ {n-1} (t_ {n-1}, \ cdots, \ varphi _ {1} (t_ { 1},y)\cdots )).}

Jest to mapa nad homeomorfizmem, $sol$ ${\ Displaystyle G (x) = (\ varphi _ {1} (-t_ {1}, \ cdots, \ varphi _ {n} (-t_ {n}, x) \ cdots), t), t = f (x)}$ jest odwrotnością. Ponieważ przepływy $warstwy$ warstwy $.$ również ${\ Displaystyle \ kwadrat}$

Zobacz też

Notatka

Matka, Jan (2012). „Uwagi dotyczące stabilności topologicznej” (PDF) . Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 49 (4): 475–506. doi : 10.1090/S0273-0979-2012-01383-6 .
Thom R. (1969). „Zespoły i morfizmy stratifiés” . Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 75 (2): 240–284. doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12138-5 .

Linki zewnętrzne

https://mathoverflow.net/questions/23259/thom-first-isotopy-lemma-in-o-minimal-structures