Połączenie (pakiet afiniczny)

Niech $Y \to X$ będzie wiązką afiniczną wzorowaną na wiązce wektorowej $Y \to X$ . Połączenie $Γ$ na $Y \to X$ nazywamy połączeniem afinicznym , jeśli jako przekrój $Γ: Y \to J Y wiązki$ 1 dżetów J $1 Y \to Y z$ Y $jest$ morfizmem wiązki afinicznej nad $X$ . W szczególności jest to połączenie afiniczne na wiązce stycznej $T X$ gładkiej rozmaitości $X$ . (Oznacza to, że połączenie na wiązce afinicznej jest przykładem połączenia afinicznego; nie jest to jednak ogólna definicja połączenia afinicznego. Są to powiązane, ale odrębne pojęcia, które niestety używają przymiotnika „afiniczny”).

W odniesieniu do współrzędnych wiązki afinicznej $(x λ, y i)$ na $Y$ , połączenie afiniczne $Γ$ na $Y \to X$ jest określone przez formę połączenia o wartościach stycznych

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Gamma & = dx ^ {\ lambda} \ czasami \ lewo (\ częściowe _ {\ lambda} + \ Gamma _ {\ lambda} ^ {i} \ częściowe _ {i} \ po prawej)\,,\\\Gamma _{\lambda }^{i}&={{\Gamma _{\lambda }}^{i}}_{j}\left(x^{\nu }\right )y^{j}+\sigma _{\lambda }^{i}\left(x^{\nu }\right)\,.\end{wyrównane}}}

Wiązka afiniczna to wiązka włókien o ogólnej strukturze afinicznej grupy $GA(m, ℝ)$ przekształceń afinicznych jej typowego włókna $V$ o wymiarze $m$ . W związku z tym połączenie afiniczne jest skojarzone z połączeniem głównym . Zawsze istnieje.

Dla dowolnego połączenia afinicznego $Γ : Y \to J 1 Y$ , odpowiednia pochodna liniowa $Γ : Y \to J 1 Y$ morfizmu afinicznego $Γ$ definiuje unikalne połączenie liniowe na wiązce wektorowej $Y \to X$ . W odniesieniu do liniowych współrzędnych wiązki $(x λ, y i)$ na $Y$ , to połączenie brzmi

{\ Displaystyle {\ overline {\ Gamma}} = dx ^ {\ lambda} \ czasami \ lewo (\ częściowe _ {\ lambda} + {{\ Gamma _ {\ lambda}} ^ {i}} _ {j} \left(x^{\nu }\right){\overline {y}}^{j}{\overline {\częściowe}}_{i}\right)\,.}

Ponieważ każda wiązka wektorów jest wiązką afiniczną, każde połączenie liniowe na wiązce wektorów jest również połączeniem afinicznym.

Jeśli $Y \to X$ jest wiązką wektorów, zarówno połączenie afiniczne $Γ$ , jak i skojarzone połączenie liniowe $Γ$ są połączeniami na tej samej wiązce wektorów $Y \to X$ , a ich różnica jest podstawową formą lutowania na

{\ Displaystyle \ sigma = \ sigma _ {\ lambda} ^ {i} (x ^ {\ nu}) dx ^ {\ lambda} \ czasami \ częściowe _ {i} \,.}

Zatem każde połączenie afiniczne na wiązce wektorowej $Y \to X$ jest sumą połączenia liniowego i podstawowej formy lutowania na $Y \to X$ .

Ze względu na kanoniczny podział pionowy $V Y = Y \times Y$ , ta forma lutowania jest przekształcana w postać wektorową

{\ Displaystyle \ sigma = \ sigma _ {\ lambda} ^ {i} (x ^ {\ nu}) dx ^ {\ lambda} \ czasami e_ { I}}

gdzie $e i$ jest bazą włókien dla $Y$ .

Biorąc pod uwagę połączenie afiniczne $Γ$ na wiązce wektorów $Y \to X$ , niech $R$ i $R$ będą odpowiednio krzywymi połączenia $Γ$ i powiązanego połączenia liniowego $Γ$ . Łatwo zauważyć, że $R = R + T$ , gdzie

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} T & = {\ tfrac {1} {2}} T _ {\ lambda \ mu} ^ {i} dx ^ {\ lambda} \ klin dx ^ {\ mu} \ otimes \częściowy _{i}\,,\\T_{\lambda \mu }^{i}&=\częściowy _{\lambda}\sigma _{\mu }^{i}-\częściowy _{\mu} \sigma _{\lambda }^{i}+\sigma _{\lambda }^{h}{{\Gamma _{\mu}}^{i}}_{h}-\sigma _{\mu} ^{h}{{\Gamma _{\lambda}}^{i}}_{h}\,,\end{wyrównane}}}

jest skręcaniem Γ względem podstawowej formy lutowania $σ$ $.$

W szczególności rozważmy wiązkę styczną $T X$ rozmaitości $X$ koordynowanej przez $(x μ, ẋ μ)$ . Istnieje kanoniczna forma lutowania

{\ Displaystyle \ teta = dx ^ {\ mu} \ otimes {\ kropka {\ częściowa}} _ {\ mu}}

na $T X$ , co pokrywa się z tautologiczną jedynką

{\ Displaystyle \ teta _ {X} = dx ^ {\ mu} \ czasami \ częściowe _ {\ mu}}

na $X$ z powodu kanonicznego podziału pionowego $VT X = T X \times T X$ . Biorąc pod uwagę dowolne połączenie liniowe $Γ$ na $T X$ , odpowiednie połączenie afiniczne

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} A & = \ Gamma + \ teta \, \\ A_ {\ lambda} ^ { \mu }&={{\Gamma _{\lambda }}^{\mu }}_{\nu }{\kropka {x}}^{\nu }+\delta _{\lambda }^{\mu }\,,\end{wyrównane}}}

na $TX Cartana$ jest połączeniem . Skręcenie połączenia Cartana $A$ względem formy lutowniczej $θ$ pokrywa się ze skręceniem połączenia liniowego $Γ$ , a jego krzywizna jest sumą $R + T$ krzywizny i skręcenia $Γ$ .

Zobacz też

Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1996). Podstawy geometrii różniczkowej . Tom. 1–2. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15733-3 .
Sardanashvily, G. (2013). Zaawansowana geometria różniczkowa dla teoretyków. Wiązki włókien, kolektory strumieniowe i teoria Lagrange'a . Wydawnictwo akademickie Lambert. ar Xiv : 0908.1886 . Bibcode : 2009arXiv0908.1886S . ISBN 978-3-659-37815-7 .