Połączenie (pakiet złożony)

$gdzie$ kompozytowe odgrywają znaczącą rolę w teorii cechowania symetrii , np. grawitacji cechowania , mechanika nieautonomiczna, X $mathbb {R} }$ $\ Displaystyle X$ = to oś czasu, np. mechanika z parametrami zależnymi od czasu i tak dalej. Istnieją ważne relacje między połączeniami na wiązkach światłowodowych , $\ Displaystyle Y \ na$ $Sigma}$ i $na X}$ .

Pakiet kompozytowy

W geometrii różniczkowej przez wiązkę kompozytową rozumie się kompozycję

{\ Displaystyle \ pi: Y \ do \ Sigma \ do X \ qquad \ qquad (1)}

wiązek włókien

{\ Displaystyle \ pi _ {Y \ Sigma}: Y \ do \ Sigma, \ qquad \ pi _ {\ Sigma X}: \ Sigma \ do X.}

Jest wyposażony we współrzędne wiązki ${\ Displaystyle (x ^ {\ lambda}, \ sigma ^ {m}, y ^ {i})}$ , gdzie ${\ Displaystyle (x ^ {\ lambda}, \ sigma ^ {m})}$ to współrzędne wiązki na wiązce włókien ${\ Displaystyle \ Sigma \ do X}$ , tj. funkcje przejścia współrzędnych ${\ Displaystyle \ sigma ^ {m}}$ są niezależne od współrzędnych ${\ displaystyle y ^ {i}}$ .

Następujący fakt dostarcza wspomnianych powyżej fizycznych zastosowań wiązek kompozytowych. Biorąc $.$ wiązkę kompozytową (1), niech $globalną$ sekcją wiązki włókien jeśli taka istnieje Wtedy wiązka pullback ${\ Displaystyle Y ^ {h} = h ^ {*} Y}$ nad ${\ Displaystyle X}$ jest podwiązką wiązki włókien ${\ Displaystyle Y \ do X }$ .

Złożony pakiet główny

Na przykład niech $.$ główną $wiązką$ ze strukturą grupy Lie $można$ zredukować jej zamkniętej Istnieje $_$ $złożona$ gdzie _ $\ Displaystyle H}$ $P \ do X$ $P.$ wiązką włókien powiązaną z } Biorąc pod uwagę globalną sekcję P $\$ $Displaystyle P / H \ do X}$ , pakiet wycofania zmniejszoną główną częścią P. ${\ Displaystyle h ^ {*} P$ ${\ displaystyle P}$ z grupą struktur ${\ displaystyle H}$ . W teorii $Higgsa$ sekcje klasyczne pola _

Kolektory strumieniowe wiązki kompozytowej

Biorąc pod uwagę wiązkę kompozytową ${\ Displaystyle Y \ do \ Sigma \ do X}$ (1), rozważ rozmaitości strumieniowe ${\ Displaystyle J ^ {1} \ Sigma}$ , ${\ displaystyle J _ {\ Sigma} ^ {1} Y}$ i wiązek włókien ${\ Displaystyle J ^ {1} Y}$ ${\ Displaystyle \ Sigma \ do X}$ , ${\ Displaystyle odpowiednio Y \ do \ Sigma }$ i ${\ displaystyle Y \ do X}$ . Są one wyposażone w dostosowane współrzędne ${\ Displaystyle (x ^ {\ lambda}, \ sigma ^ {m}, \ sigma _ {\ lambda} ^ {m})}$ , ${\ Displaystyle (x ^ {\ lambda}, \ sigma ^ {m}, y ^ {i}, {\ widehat {y} } _ {\ lambda } ^ {i}, y_ {m} ^ {i}),}$ i ${\ Displaystyle (x ^ {\ lambda}, \ sigma ^ {m}, y ^ {i}, \ sigma _ {\ lambda} ^ {m}, y _ {\ lambda} ^ {i}).}$

Jest mapa kanoniczna

{\ Displaystyle J ^ {1} \ Sigma \ razy _ {\ Sigma} J_ {\ Sigma }^{1}Y\to _{Y}J^{1}Y,\qquad y_{\lambda }^{i}=y_{m}^{i}\sigma _{\lambda }^{m }+{\widehat {y}}_{\lambda }^{i}}

.

Połączenie kompozytowe

Ta kanoniczna mapa definiuje relacje między połączeniami na wiązkach światłowodowych , $Y$ $na \ Sigma}$ i $X}$ . Połączenia te są określone przez odpowiednie formy połączeń o wartościach stycznych

{\ Displaystyle \ gamma = dx ^ {\ lambda} \ otimes (\ częściowe _ {\ lambda} + \ gamma _ { \lambda }^{m}\częściowa _{m}+\gamma _{\lambda }^{i}\częściowa _{i}),}

{\ Displaystyle A _ {\ Sigma} = dx ^ {\ lambda} \ otimes (\ częściowe _ {\ lambda} + A_ {\ lambda} ^ { i}\częściowe _{i})+d\sigma ^{m}\otimes (\częściowe _{m}+A_{m}^{i}\częściowe _{i}),}

{\ Displaystyle \ Gamma = dx ^ {\ lambda} \ otimes (\ częściowe _ {\ lambda} + \ Gamma _ {\ lambda} ^ {m} \ częściowe _ {m}).}

Połączenie $i$ wiązce włókien $\ Displaystyle Y \ do \ Sigma}$ $} Sigma \to X}$ połączenie wiązce włókien $Gamma$ zdefiniuj połączenie

{\ Displaystyle \ gamma = dx ^ {\ lambda} \ otimes (\ częściowe _ { \lambda }+\Gamma _{\lambda }^{m}\częściowa _{m}+(A_{\lambda }^{i}+A_{m}^{i}\Gamma _{\lambda }^{ m})\częściowe _{i})}

na pakiecie złożonym ${\ displaystyle Y \ do X}$ . Nazywa się to połączeniem złożonym . Jest $}$ unikalne połączenie, takie, że ${\ Displaystyle \$ winda na pole wektorowe za pomocą kompozytu $tau$ $gamma$ połączenie ${\ Displaystyle \ gamma}$ zbiega się z kompozycją poziomych wind na Σ $_ {\ Sigma} (\ Gamma$ $)$ $} Sigma}$ za pomocą połączenia $Displaystyle$ a następnie na $Y}$ za pomocą połączenia ${\ Displaystyle A _ {\ Sigma}}$ .

Pionowa różniczka kowariantna

Biorąc pod uwagę wiązkę złożoną $displaystyle Y}$ 1), istnieje następująca dokładna sekwencja wiązek wektorowych nad $Y {\ displaystyle Y}$ :

{\ Displaystyle 0 \ do V _ {\ Sigma} Y \ do VY \ do Y \ razy _ {\ Sigma} V \ Sigma \ do 0, \qquad \qquad (2)}

gdzie ${\ Displaystyle V _ {\ Sigma} Y}$ i ${\ Displaystyle V _ {\ Sigma} ^ {*} Y}$ to pionowa wiązka styczna i pionowa wiązka cotangens Y $\ Displaystyle Y\do \Sigma }$ . Każde połączenie $wiązce$ światłowodów $Y \ do \ Sigma}$ daje podział

{\ Displaystyle A_ {\ Sigma}: TY \ supset VY \ ni {\kropka {y}}^{i}\częściowa _{i}+{\kropka {\sigma}}^{m}\częściowa _{m}\to ({\kropka {y}}^{i} -A_{m}^{i}{\kropka {\sigma}}^{m})\częściowe _{i}}

dokładnej sekwencji (2). Korzystając z tego podziału, można skonstruować operator różniczkowy pierwszego rzędu

{\ Displaystyle {\ widetilde {D }}:J^{1}Y\to T^{*}X\otimes _{Y}V_{\Sigma }Y,\qquad {\widetilde {D}}=dx^{\lambda }\otimes (y_ {\lambda}^{i}-A_{\lambda}^{i}-A_{m}^{i}\sigma _{\lambda}^{m})\częściowa _{i},}

na pakiecie złożonym ${\ displaystyle Y \ do X}$ . Nazywa się to pionową różniczką kowariantną . Posiada następującą ważną właściwość.

Niech ${\ displaystyle h}$ będzie sekcją wiązki włókien $h$ niech będzie wycofaniem $Y}$ podzbiór pakiet nad ${\ displaystyle X}$ . Każde połączenie wywołuje połączenie zwrotne ${\ displaystyle A _ {\ Sigma}}$

{\ Displaystyle A_ {h} = dx ^ {\ lambda} \ czasami [\częściowa _{\lambda }+((A_{m}^{i}\circ h)\częściowa _{\lambda }h^{m}+(A\circ h)_{\lambda }^{ i})\częściowe _{i}]}

na ${\ displaystyle h ^ {*} Y}$ . Następnie ograniczenie pionowej kowariantnej różniczki $*} Y \ podzbiór J$ $h$ {1} $} Y}$ ze znaną kowariantną różniczką $Displaystyle h ^ {$ h względem połączenia pullback ${\ Displaystyle A_ {h.}}$ .

Saunders D., Geometria wiązek strumieniowych. Cambridge University Press, 1989. ISBN 0-521-36948-7 .
Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Połączenia w klasycznej i kwantowej teorii pola. World Scientific, 2000. ISBN 981-02-2013-8 .

Linki zewnętrzne

Sardanashvily, G. , Zaawansowana geometria różniczkowa dla teoretyków. Wiązki włókien, kolektory strumieniowe i teoria Lagrange'a , Lambert Academic Publishing, 2013. ISBN 978-3-659-37815-7 ; ar Xiv : 0908.1886

Zobacz też