Podstawowe twierdzenia algebraicznej K -teorii

W matematyce istnieje kilka podstawowych twierdzeń algebraicznej K -teorii .

Przez cały czas, dla uproszczenia, zakładamy, że kiedy kategoria dokładna jest podkategorią innej kategorii dokładnej, mamy na myśli ściśle pełną podkategorię (tj. izomorfizm-zamknięty).

Twierdzenia

Twierdzenie o addytywności - Niech $, C}$ będą dokładnymi kategoriami (lub innymi wariantami). Biorąc $Displaystyle$${\ Displaystyle F_ {*} \ simeq F'_ {*} + F''_ {*}}$$C}$ funktorów od $B}$ do , jak ${\ displaystyle H}$ -mapy kosmiczne; w konsekwencji ${\ Displaystyle F_ {*} = F'_ {*} + F''_ {*}: K_ {i }(B)\do K_{i}(C)}$ .

Twierdzenie o lokalizacji uogólnia twierdzenie o lokalizacji dla kategorii abelowych.

Twierdzenie o lokalizacji Waldhausena - Niech $\ Displaystyle A$$kofibracjami$ słabych równoważności, jak że ${\ Displaystyle (A, v)}$ i ${\ Displaystyle (A, w)}$ są kategoriami Waldhausena. Załóżmy $że$ ma funktor cylindra spełniający $że$ aksjomaty Następnie

${\ Displaystyle K (A ^ {w}) \ do K (A, v) \ do K (A, w)}$

jest włóknieniem homotopicznym.

Twierdzenie o $kategoriami$ - Niech dokładnymi Przypuszczać

• (i) C jest domknięte pod rozszerzeniami w D i pod jądrami dopuszczalnych suriekcji w D .
• (ii) Każdy obiekt w D dopuszcza rozdzielczość skończonej długości przez obiekty w C .

K. ${\ Displaystyle K_ {i} (C) = K_ {i} (D)}$ wszystkich ${\ Displaystyle i \ geq 0}$ .

Niech $_$ . Wtedy mówi się, że C jest współkońcowe w D , jeśli (i) jest domknięte w rozszerzeniu w D i jeśli (ii) dla każdego obiektu M w D istnieje N w D takie, że ${\ Displaystyle M \ oplus N}$ jest w C. Prototypowym przykładem jest sytuacja, w której C jest kategorią modułów swobodnych , a D kategorią modułów rzutowych .

$o$ współfinalności - Niech będzie kategorią Waldhausena, która ma funktor $podkategorię$$oznacza$ istnieje homomorfizm $suriekcyjny$ niech wszystkich $X}$ w ${\ Displaystyle \ pi [X] = 0}$$X$ = sol. $Displaystyle G$ . następnie ${\ Displaystyle vs B \ do vs A \ do BG}$ i jego delooping ${\ Displaystyle K (B) \ do K (A) \ do G}$ są homotopowymi fibracjami.

Zobacz też

• Podstawowe twierdzenie algebraicznej K-teorii

• Weibel, Karol (2013). „K-book: wprowadzenie do algebraicznej teorii K” . Studia podyplomowe z matematyki . 145 .
• Ross E. Staffeldt, O podstawowych twierdzeniach algebraicznej teorii K
• GABE ANGELINI-KNOLL, PODSTAWOWE TWIERDZENIA ALGEBRAICZNEJ K-TEORII
• Tom Harris, Algebraiczne dowody niektórych podstawowych twierdzeń w algebraicznej K-teorii