Podstawowe twierdzenie algebraicznej K -teorii

W algebrze podstawowe twierdzenie algebraicznej teorii K $} styl wyświetlania R[t,t^{-1}]}$ skutki zmiany pierścienia K -grup z pierścienia na R ${\ Displaystyle R [t]}$ lub \ Displaystyle R [t] . Twierdzenie zostało po raz pierwszy udowodnione przez Hymana Bassa dla ${\ displaystyle K_ {0}, K_ {1}}$ i został później rozszerzony na wyższe grupy K przez Daniela Quillena .

Opis

Niech będzie algebraiczną teorią K kategorii skończenie generowanych modułów na pierścieniu noetherowskim R ; ${\ Displaystyle G_ {i} (R)$ } sol ${\ Displaystyle G_ {i} (R) = \ pi _ {i} (B ^ {+} {\ tekst$ , gdzie ${\ Displaystyle B ^ {+} = \ Omega BQ}$ konstrukcję Q Quillena . Jeśli R jest regularnym pierścieniem (tj. Ma skończony wymiar globalny ), to ${\ Displaystyle G_ {i} (R) = K_ {i} (R$ ) } -ta K-grupa R . Jest to bezpośrednia konsekwencja twierdzenia o rozdzielczości, które porównuje K-teorie dwóch różnych kategorii (z relacją inkluzji).

Dla pierścienia noetherowskiego R podstawowe twierdzenie brzmi:

• (ja) ${\ Displaystyle G_ {i} (R [t]) = G_ {i} (R), \, i \ geq 0}$ .
• (ii) ${\ Displaystyle G_ {i} (R [ t,t^{-1}])=G_{i}(R)\oplus G_{i-1}(R),\,i\geq 0,\,G_{-1}(R)=0}$ .

Dowód twierdzenia wykorzystuje konstrukcję Q. Istnieje również wersja twierdzenia dla przypadku pojedynczego (dla ${\ displaystyle K_ {i}}$ ); jest to wersja udowodniona w artykule Graysona.

Zobacz też

• podstawowe twierdzenia w algebraicznej K-teorii

Notatki

• Daniel Grayson, Wyższa algebraiczna K-teoria II [po Danielu Quillen] , 1976
•    Srinivas, V. (2008), algebraiczna teoria K , Modern Birkhäuser Classics (przedruk w miękkiej okładce 1996 2nd ed.), Boston, MA: Birkhäuser , ISBN 978-0-8176-4736-0 , Zbl 1125.19300
• Weibel, Charles (2013). „K-book: wprowadzenie do algebraicznej teorii K” . Studia podyplomowe z matematyki . 145 .