Konstrukcja Q

W algebrze Q-konstrukcja Quillena wiąże się z dokładną kategorią (np. kategorią abelową ) algebraiczną K- teorią . Dokładniej, biorąc pod $B ^ {+} }C)}$ dokładną kategorię $Displaystyle \ pi _ {0}$ , konstrukcja tworzy przestrzeń topologiczną tak, że to grupa Grothendiecka dla C i kiedy C jest kategorią skończenie generowanych modułów rzutowych na pierścieniu R , dla ${\ Displaystyle i = 0,1,2}$ , ${\ Displaystyle \ pi _ {i} ( B^{+}C)}$ jest i -tą K-grupą R w sensie klasycznym. (Oznaczenie „+” ma sugerować, że konstrukcja dodaje więcej do przestrzeni klasyfikacyjnej BC ).

${\ Displaystyle K_ {i} (C) = \ pi _ {i} (B ^ {+} C)}$

i nazwijmy to i -tą K -grupą C. Podobnie i -ta K-grupa C ze współczynnikami w grupie G jest zdefiniowana jako grupa homotopii ze współczynnikami :

${\ Displaystyle K_ {i} (C; G) = \ pi _ {i} (B ^ {+} C; G)}$ .

Konstrukcja ma szerokie zastosowanie i służy do definiowania algebraicznej teorii K w kontekście nieklasycznym. Na przykład można $zdefiniować$$ekwiwariantną$ algebraiczną jako kategorię ekwiwariantnych krążków na

Konstrukcja S Waldhausena uogólnia konstrukcję Q w stabilnym sensie; w rzeczywistości ta pierwsza, która wykorzystuje bardziej ogólną kategorię Waldhausena , tworzy widmo zamiast przestrzeni. Binarny kompleks Graysona daje również konstrukcję algebraicznej teorii K dla dokładnych kategorii. Zobacz także teorię widma modułów # K, aby zapoznać się z teorią K widma pierścieniowego .

Konstrukcja

Niech C będzie dokładną kategorią; tj. addytywna pełna podkategoria kategorii abelowej, która jest zamknięta w rozszerzeniu. Jeśli istnieje dokładna sekwencja ${\ Displaystyle 0 \ do M'\ do M \ do M''\ do 0}$ w C , to strzałka z M ′ nazywana jest dopuszczalnym mono i strzałka z M nazywana jest dopuszczalnym epi.

Niech QC będzie kategorią, $dopuszczalnym$ są takie same jak C , a morfizmy od X do Y klasami izomorfizmów diagramów , że pierwsza strzałka jest a drugi dopuszczalny mono i dwa diagramy są izomorficzne, jeśli różnią się tylko w środku i istnieje między nimi izomorfizm. Skład morfizmów jest określony przez pullback.

Zdefiniuj przestrzeń topologiczną $BQC}$$^ {+} C}$$\ Omega$ b gdzie a funktor $)$ i przestrzenią klasyfikującą kategorii QC ( geometryczna realizacja nerwu ). Jak się okazuje, jest jednoznacznie zdefiniowany aż do równoważności homotopii (więc notacja jest uzasadniona).

Operacje

Każdy homomorfizm pierścienia $)$ b $\ Displaystyle B ^ {+} P (R) \ do B ^ {+}$ ja $)) = K_ {i} (R) \ do K_ {i }(S)}$ gdzie $R$ kategorią skończenie modułów rzutowych Wstępie do algebraicznej K-teorii Milnora . Konstrukcja jest również kompatybilna z zawieszeniem na kółku (por. Grayson).

Porównanie z klasyczną K-teorią pierścienia

Twierdzenie Daniela Quillena stwierdza , że ​​​​kiedy C jest kategorią skończenie generowanych modułów rzutowych na pierścieniu R , ${\ Displaystyle \ pi _ {i} (B ^ {+} C)}$ ja -ta grupa K R w klasycznym sensie dla ${\ Displaystyle i = 0,1,2}$ . Zwykły dowód twierdzenia (por. Weibel 2013 ) opiera się na pośredniej równoważności homotopii. Jeśli S $, w której każdy morfizm jest izomorfizmem, konstruuje się$ Grayson) kategorię, która uogólnia konstrukcję monoidu grupy Grothendiecka. Niech C będzie dokładną kategorią, w $do {\ Displaystyle S = \ operatorname {iso} C}$ każda dokładna sekwencja dzieli się, np. kategorią skończenie generowanych modułów rzutowych, i umieść , podkategoria C z tą samą klasą obiektów, ale z morfizmami, które są izomorfizmami w C . Następnie istnieje „naturalna” równoważność homotopii:

${\ Displaystyle \ Omega BQC \ simeq B (S ^ {- 1} S)}$ .

Równoważność jest skonstruowana w następujący sposób. Niech E będzie kategorią, której obiektami są krótkie ciągi dokładne w C i której morfizmy są klasami izomorfizmów diagramów między nimi. Niech ${\ Displaystyle f: E \ do QC}$ będzie funktorem, który wysyła krótką dokładną sekwencję do trzeciego wyrazu w sekwencji $,$ włókno , które jest podkategorią, składa się z dokładnych sekwencji . . To sprawia, że ${\ displaystyle QC}$ jest kategorią rozgałęzioną na . Pisząc dla $} f}$$S ^ {$${\ Displaystyle \ Omega BQC}$ (a więc do włókna homotopowego $.$ można wykazać jako równoważność homotopii $\$ drugiej strony, na podstawie twierdzenia Quillena B $- 1$ pokazać, że homotopią wycofania wzdłuż ${\ Displaystyle * \ do BQC}$ , a zatem jest homotopią równoważną ${\ Displaystyle F (BS ^ {- 1} f)}$ .

Bierzemy teraz C za kategorię skończenie generowanych modułów rzutowych na pierścieniu R i pokazujemy, że są ${\ Displaystyle \ pi _ {i} B (S ^ {- 1} S)}$ K ${\ Displaystyle K_ {i}}$ R w klasycznym sensie dla ${\ Displaystyle i =$ , . Po pierwsze, z definicji, ${\ Displaystyle \ pi _ {0} B (S ^ {-1} S) = K_ {0} (R)}$ . sol ${\ Displaystyle GL_ {n} (R) = \ operatorname {Aut} (R ^ {n}) \ do S ^ {-$ daje nam:

${\ Displaystyle BGL (R) = \ varinjlim BGL_ {n} (R) \ do B (S ^ {- 1}S)}$ .

(Tutaj $)} jest$$Eilenberga$ przestrzenią klasyfikującą kategorii, przestrzenią - typu ${\ Displaystyle K (GL (R), 1)}$ , co równa się temu samemu.) Obraz faktycznie leży w elemencie tożsamości ${\ Displaystyle B (S ^ {-1} S)}$ i tak otrzymujemy:

${\ Displaystyle f: BGL (R) \ do B (S ^ {-1} S) ^ {0}.}$

Niech $S_ {n}}$$R ^ {n}$ będzie pełną podkategorią S się z modułów izomorficznych z $}$ (a więc połączony składnik zawierający ${\ displaystyle R ^ {n}}$ ). Niech ${\ Displaystyle e \ in \ pi _ {0} (BS)}$ będzie składnikiem zawierającym R . Następnie, na podstawie twierdzenia Quillena,

${\ Displaystyle H_ {p} (B (S ^ {-1} S) ^ {0}) \ podzbiór H_ {p} (B (S ^ {-1} S)) = H_ {p} (BS) [ \pi _{0}(BS)^{-1}]=H_{p}(BS)[e^{-1}].}$

Zatem klasa po lewej stronie ma postać ${\ displaystyle xe ^ {- n}}$ . Ale $}$ przez działanie $\ w$ . Stąd,

${\ Displaystyle H_ {p} (B (S ^ {-1} S) ^ {0}) = \ varinjlim H_ {p} (BS_ {n}) = \ varinjlim H_ {p} (BGL_ {n} (R ))=H_{p}(BGL(R)),\quad p\geq 0.}$

Ponieważ ${\ Displaystyle B (S ^ {-1} S) ^ {0}}$ jest grupą H ,

${\ Displaystyle \ pi _ {1} (B (S ^ {-1} S) ^ {0}) = \ pi _ {1} (B (S ^ {-1} S) ^ {0}) ^ { \text{ab}}=H_{1}(B(S^{-1}S)^{0})=H_{1}(BGL(R))=H_{1}(GL(R))= GL(R)^{\text{ab}}=K_{1}(R).}$

Pozostaje zobaczyć ${\ Displaystyle \ pi _ {2}}$ jest ${\ Displaystyle K_ {2}}$ . Pisząc dla włókna homotopowego, mamy długą dokładną sekwencję: ${\ displaystyle Ff}$

${\ Displaystyle \ pi _ {2} (BGL (R)) = 0 \ do \ pi _ {2} (B (S ^ {-1} S) ^ {0}) \ do \ pi _ {1} ( Ff)\to \pi _{1}(BGL(R))=GL(R)\to K_{1}(R).}$

Z teorii homotopii wiemy, że drugi termin jest centralny; tj. ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (Ff) \ do E (R)}$ jest centralnym rozszerzeniem . Następnie $(Pf)}$ następnego lematu wynika, że $)$ centralnym rozszerzeniem tj. $\ Displaystyle \ pi$ jest grupą Steinberga R , a jądro to ${\ Displaystyle K_ {2} (R)}$ .)

Lemat — Niech $.$ ciągłą mapą fa $*}: H_ {*} (X, L) \ do H_ {*} (Y, f ^ { *}L)} jest$ zatem izomorfizmem dowolnego lokalnego układu współczynników L na X

${\ Displaystyle H_ {1} (\ pi _ {1} (Ff), \ mathbb {Z } )=H_{2}(\pi _{1}(Ff),\mathbb {Z} )=0.}$

$Dowód$ : typ homotopii zmienia się, jeśli zastąpimy f $\ displaystyle \ do$ wzdłuż uniwersalnego pokrycia $fa$ . Zatem możemy zastąpić hipotezę taką, że Y jest po prostu spójny i ${\ Displaystyle H_ {p} (X, \ mathbb {Z}) \ simeq H_ {p} (Y, \ mathbb {Z}), p \ geq 0}$ . Teraz ${\ Displaystyle Ff \ do X \ do Y}$ Serre'a dla $}$ \ do Y

${\ Displaystyle {} ^ {2} E_ {pq} = H_ {p} (Y ,H_{q}(Ff,\mathbb {Z} )}\Strzałka w prawo H_{p+q}(X,\mathbb {Z} ),}$

${\ Displaystyle {} ^ {2} E'_ {pq} = H_ {p} (Y, H_ {q} (*, \ mathbb {Z})} \ Strzałka w prawo H_ {p + q} (Y, \ mathbb {Z} ).}$

Z twierdzenia o porównaniu dla sekwencji widmowych wynika, że ${\ Displaystyle {} ^ {2} E_ {0q} = {} ^ {2} E'_ {0q}}$ ; tj. jest acykliczny. fa $\ displaystyle Ff}$ (Przypadkowo, odwracając argument, można powiedzieć, że implikuje to ${\ Displaystyle H_ {p} (X, \ mathbb {Z}) \ simeq H_ {p} (Y, \ mathbb {Z});} stąd hipoteza lematu.) Następnie sekwencja$ widmowa pokrycia $\ Displaystyle {\ widetilde {Ff}} \ do Ff}$ z grupą ${\ Displaystyle G = \ pi _ {1} (Ff)}$ mówi:

${\ Displaystyle {} ^ {2} E_ {pq} = H_ {p} (G, H_ {q} ({\ widetilde {Ff}}, \ mathbb {Z}}} \ Strzałka w prawo H_ {p + q} ( Ff,\mathbb {Z} )=H_{p+q}(*,\mathbb {Z} ).}$

Kontrola tej sekwencji widmowej daje pożądany wynik.

• Daniel Grayson, Wyższa algebraiczna K-teoria II [po Danielu Quillen] , 1976
•    Srinivas, V. (2008), algebraiczna teoria K , Modern Birkhäuser Classics (przedruk w miękkiej okładce 1996 2nd ed.), Boston, MA: Birkhäuser , ISBN 978-0-8176-4736-0 , Zbl 1125.19300
• Weibel, Charles , The K-book: Wprowadzenie do algebraicznej teorii K