Pokój kwadratowy

Kwadrat Room , nazwany na cześć Thomasa Geralda Room , to tablica n × n wypełniona n + 1 różnymi symbolami w taki sposób, że:

1. Każda komórka tablicy jest albo pusta, albo zawiera nieuporządkowaną parę ze zbioru symboli
2. Każdy symbol występuje dokładnie raz w każdym wierszu i kolumnie tablicy
3. Każda nieuporządkowana para symboli występuje dokładnie w jednej komórce tablicy.

Przykład, kwadrat pokoju rzędu siedmiu, jeśli zestaw symboli to liczby całkowite od 0 do 7:

0,7			1,5		4,6	2,3
3,4	1,7			2,6		0,5
1,6	4,5	2,7			0,3
	0,2	5,6	3,7			1,4
2,5		1,3	0,6	4,7
	3,6		2,4	0,1	5,7
		0,4		3,5	1,2	6,7

Wiadomo, że kwadrat pokoju (lub kwadraty) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy n jest nieparzyste, ale nie 3 lub 5.

Historia

Kwadrat rzędu 7 Room został użyty przez Roberta Richarda Anstice'a do dostarczenia dodatkowych rozwiązań problemu uczennicy Kirkmana w połowie XIX wieku, a Anstice również skonstruował nieskończoną rodzinę kwadratów Room, ale jego konstrukcje nie przyciągały uwagi. Thomas Gerald Room na nowo wymyślił kwadraty Room w notatce opublikowanej w 1955 roku i zaczęto je nazywać jego imieniem. W swoim oryginalnym artykule na ten temat Room zauważył, że n musi być nieparzyste i nierówne 3 lub 5, ale nie wykazano, że te warunki są zarówno konieczne, jak i wystarczające, aż do pracy WD Wallisa z 1973 roku.

Aplikacje

Artykuł Roomu sprzed randkowania, Kwadraty Room były używane przez dyrektorów duplikatów turniejów brydżowych do konstruowania turniejów. W tym zastosowaniu są one znane jako rotacje Howella. Kolumny kwadratu reprezentują stoły, z których każdy zawiera rozdanie kart rozgrywane przez każdą parę drużyn, które spotykają się przy tym stole. Rzędy kwadratu reprezentują rundy turnieju, a liczby w komórkach kwadratu reprezentują drużyny, które mają grać ze sobą przy stole i rundzie reprezentowanej przez tę komórkę.

Archbold i Johnson wykorzystali kwadraty Room do skonstruowania eksperymentalnych projektów.

Istnieją powiązania między kwadratami pokojowymi a innymi obiektami matematycznymi, w tym quasigrupami , kwadratami łacińskimi , rozkładami na czynniki grafów i systemami potrójnymi Steinera .

Zobacz też

• Projekt kombinatoryczny
• Magiczny kwadrat
• Macierze kwadratowe

Dalsza lektura

•   Dinitz, JH; Stinson, DR (1992), „Kwadraty pokojowe i powiązane projekty”, w: Dinitz, JH; Stinson, DR (red.), Współczesna teoria projektowania: zbiór ankiet , Wiley – Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization, John Wiley & Sons , s. 137–204, ISBN 0-471-53141-3
• Weisstein, Eric W. , „Room Square” , MathWorld