Powierzchnia wentylatora

W geometrii algebraicznej powierzchnia Fano jest powierzchnią typu ogólnego (w szczególności nie jest to odmiana Fano ), której punkty indeksują linie na nieosobliwej potrójnej sześciennej . Po raz pierwszy zbadał je Fano ( 1904 ).

Diament Hodge'a:

		1
	5		5
10		25		10
	5		5
		1

Powierzchnie Fano są prawdopodobnie najprostszymi i najlepiej zbadanymi przykładami nieregularnych powierzchni ogólnego typu, które nie są związane z iloczynem dwóch krzywych i nie są całkowitym przecięciem dzielników w rozmaitości abelowej.

Powierzchnia Fano S gładkiego sześciennego potrójnego F w P ⁴ niesie ze sobą wiele niezwykłych właściwości geometrycznych. Powierzchnia S jest naturalnie osadzona w grassmannianie linii G(2,5) ^z P4 . Niech U będzie ograniczeniem do S pakietu uniwersalnej rangi 2 na G. Mamy:

Twierdzenie o wiązce stycznej ( Fano , Clemens - Griffiths , Tyurin): Wiązka styczna S jest izomorficzna z U.

Jest to dość ciekawy wynik, ponieważ a priori nie powinno być żadnego związku między tymi dwoma wiązkami. Ma wiele potężnych aplikacji. Na przykład można odzyskać fakt, że cotangens przestrzeni S jest generowany przez globalne sekcje. Tę przestrzeń globalnych 1-form można utożsamiać z przestrzenią globalnych przekrojów wiązki linii tautologicznych O(1) ograniczoną do sześciennego F, a ponadto:

Twierdzenie typu Torelli: Niech g' będzie naturalnym morfizmem od S do Grasmanna G(2,5) określonym przez cotangens S generowany przez jego 5-wymiarową przestrzeń globalnych przekrojów. Niech F' będzie sumą prostych odpowiadających g'(S). Potrójne F' jest izomorficzne z F.

Zatem znając powierzchnię Fano S, możemy odzyskać potrójne F. Za pomocą twierdzenia o wiązce stycznej możemy również zrozumieć geometrycznie niezmienniki S:

a) Przypomnij sobie, że druga liczba Cherna wiązki wektorów rzędu 2 na powierzchni to liczba zer sekcji ogólnej. Dla powierzchni Fano S, 1-forma w definiuje również przekrój hiperpłaszczyzny {w=0} w P ⁴ sześciennego F. Zera ogólnego w na S odpowiadają bijektywnie liczbie linii prowadzących do przecięcia gładkiej powierzchni sześciennej z {w=0} i F, zatem odzyskujemy, że druga klasa Cherna z S jest równa 27.

b) Niech w ₁ , w ₂ będą dwiema postaciami 1 na S. Dzielnik kanoniczny K na S związany z formą kanoniczną w ₁ ∧ w ₂ parametryzuje proste na F przecinające płaszczyznę P={ w ₁ = w ₂ = 0} do P ⁴ . Używając w ₁ i w ₂ tak, że przecięcie P i F jest sumą 3 prostych, można odzyskać fakt, że K ² = 45. Podajmy kilka szczegółów tego obliczenia: Przez ogólny punkt sześciennego F przechodzi 6 linii. Niech s będzie punktem S i niech L _s będzie odpowiednią prostą na sześciennym F. Niech C _s będzie dzielnikiem na S parametryzujących prostych, które przecinają prostą L _s . Samoprzecięcie C _s jest równe liczbie przecięć C _s i C _t dla punktu ogólnego ta. Przecięcie C _s i C _t to zbiór prostych na F, który przecina rozłączne proste L _s i L _t . Rozważmy rozpiętość liniową L _s i L _t : jest to hiperpłaszczyzna w P ⁴ , która przecina F w gładką sześcienną powierzchnię. Z dobrze znanych wyników na powierzchni sześciennej wynika, że liczba linii przecinających dwie linie rozłączne wynosi 5, a więc otrzymujemy ( C _s ) ² = C _s C _t = 5. Ponieważ K jest liczbowo równoważne 3 C _s , otrzymujemy K ² = 45.

c) Naturalna mapa złożona: S -> G(2,5) -> P ⁹ jest mapą kanoniczną S. Jest to osadzanie.

Zobacz też

Teoria Hodge'a

Bombieri, Enrico ; Swinnerton-Dyer, HPF (1967), „O lokalnej funkcji zeta potrójnego sześciennego” , Ann. Norma szkolna. Pić małymi łykami. Piza (3) , 21 , 1–29, MR 0212019
Klemens, C. Herbert ; Griffiths, Phillip A. (1972), „Pośredni Jakobian potrójnego sześciennego”, Annals of Mathematics , druga seria, 95 (2): 281–356, CiteSeerX 10.1.1.401.4550 , doi : 10.2307/1970801 , ISSN 0003 -486X , JSTOR 1970801 , MR 0302652
Fano, G. (1904), „Sul sistema ∞ ² rette contenuto in une varietà Cubase Generale dello Spazio a Quattro Dimensioni”, Atti R. Accad. nauka Torino , 39 : 778–792
Kulikow, Vik.S. (2001) [1994], „Powierzchnia Fano” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
Murre, JP (1972), „Równoważność algebraiczna modulo racjonalna równoważność na potrójnej sześciennej” , Compositio Mathematica , 25 : 161–206, ISSN 0010-437X , MR 0352088