Pozostałość (analiza numeryczna)

Luźno mówiąc, reszta to błąd w wyniku. Aby być precyzyjnym, załóżmy, że chcemy znaleźć x takie, że

{\ displaystyle f (x) = b.}

₀ Biorąc pod uwagę przybliżenie x od x , reszta wynosi

{\ Displaystyle bf (x_ {0})}

₀ to znaczy „to, co zostało z prawej strony” po odjęciu f ( x )” (stąd nazwa „resztkowy”: co zostało, reszta). Z drugiej strony błąd polega na tym, że

{\ displaystyle xx_ {0}}

Jeśli dokładna wartość x nie jest znana, resztę można obliczyć, podczas gdy błąd nie.

Reszta z przybliżenia funkcji

Podobna terminologia jest używana w odniesieniu do równań różniczkowych , całkowych i funkcjonalnych . Dla przybliżenia $}}$ równania $\ displaystyle$ }

{\ Displaystyle T (f) (x) = g (x) \,,}

reszta może być funkcją

{\ Displaystyle ~ g (x) ~ - ~ T (f _ {\ tekst {a}}) (x)}

lub można powiedzieć, że jest to maksimum normy tej różnicy

{\ Displaystyle \ max _ {x \ w {\ mathcal {X}}} | g (x) -T (f _ {\ tekst {a}}) (x) |}

w domenie , gdzie oczekuje się, że funkcja $displaystyle f$ ${\ displaystyle {$ lub jakąś całkę z $X$ funkcja różnicy, np.:

{\ Displaystyle \ int _ {\ mathcal {X}} | g (x) -T (f _ {\ tekst {a}}) (x) | ^ {2} ~ \ operatorname {d} x.}

W wielu przypadkach małość reszty oznacza, że przybliżenie jest bliskie rozwiązaniu, tj.

{\ Displaystyle \ lewo | {\ Frac {f _ {\ tekst {a}} (x) -f (x)} {f (x)}} \ prawo | \ ll 1.}

W takich przypadkach początkowe równanie jest uważane za dobrze ułożone ; a resztę można uznać za miarę odchylenia przybliżenia od dokładnego rozwiązania.

Wykorzystanie pozostałości

Gdy nie znamy dokładnego rozwiązania, można szukać przybliżenia z małą resztą.

Reszty pojawiają się w wielu dziedzinach matematyki, w tym w rozwiązaniach iteracyjnych , takich jak uogólniona metoda minimalnych reszt , która szuka rozwiązań równań poprzez systematyczne minimalizowanie resztek.