Prawie pewne testowanie hipotez

W statystyce prawie pewne testowanie hipotez lub testowanie hipotez wykorzystuje prawie pewną zbieżność w celu określenia ważności hipotezy statystycznej z prawdopodobieństwem jeden. Oznacza to, że ilekroć hipoteza zerowa jest prawdziwa, wówczas test hipotezy as nie odrzuci hipotezy zerowej wp 1 dla wszystkich wystarczająco dużych próbek. Podobnie, ilekroć hipoteza alternatywna jest prawdziwa, test jako hipotezy odrzuci hipotezę zerową z prawdopodobieństwem jeden dla wszystkich wystarczająco dużych próbek. Podobnie przedział ufności as ostatecznie zawiera interesujący nas parametr z prawdopodobieństwem 1. Dembo i Peres (1994) udowodnili istnienie prawie pewnych testów hipotez.

Opis

Dla uproszczenia załóżmy, że mamy sekwencję niezależnych i identycznie rozłożonych normalnych zmiennych losowych, $\ textstyle x_ {i} \ sim N (\$ \ $mu$ $\displaystyle \textstyle \mu }$ i wariancja jednostek. Załóżmy, że natura lub symulacja wybrały prawdziwą średnią na ${0}}$ to funkcja rozkładu prawdopodobieństwa średniej jest dana przez ${\ displaystyle \ textstyle \ mu _$

{\ Displaystyle \ Pr (\ mu \ równoważnik t) = [t \ w [\ mu _ {0}, + \ infty]]}

gdzie zastosowano zamek Iverson . Naiwnym podejściem do oszacowania $,$ zastąpienie prawdziwej średniej po prawej stronie oszacowaniem, takim jak średnia próbki ale

{\ Displaystyle {\ begin{aligned}&\nazwa operatora {E} \left[t\in \left[{\widehat {\mu }},+\infty \right]\right]=\Pr({\widehat {\mu }}\ leq t)\\[4pt]={}&\Phi ({\sqrt {n}}(t-\mu _{0}))\rightarrow \Pr(\mu \leq t)-0,5[\mu _ {0}=t]\end{wyrównane}}}

co oznacza, że przybliżenie do prawdziwej funkcji rozkładu będzie się różnić o 0,5 przy prawdziwej średniej. Jednak $to$ niż jednostronny bardziej ogólnie, niech $}$ wartością krytyczną używaną w jednostronnym $Displaystyle \ textstyle 1-\ alpha _ {n$ wtedy przedział ufności

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} \ lewo [t \in \left[{\hat {\mu}}-{\frac {Z_{\alpha _{n}}}{\sqrt {n}}},+\infty \right]\right]\rightarrow \Pr (\mu \leq t)-\lim _{n\rightarrow +\infty }\alpha _{n}[\mu _{0}=t]}

Jeśli ustawimy $Oczywiście$ to błąd przybliżenia zmniejszy się z 0,5 do 0,05, co stanowi współczynnik 10. ${\ displaystyle \ textstyle \ alpha _ {n} \ rightarrow 0}$ , więc

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} \ lewo [t \ w \ lewo [{\ widehat {\ mu}} -{\frac {Z_{\alpha _{n}}}{\sqrt {n}}},+\infty \right]\right]\rightarrow \Pr(\mu \leq t)}

Jednak to tylko pokazuje, że oczekiwanie jest bliskie wartości granicznej. Naaman (2016) wykazał, że ustawienie poziomu istotności na ${\ displaystyle \ textstyle \ alpha _ {n} = n ^ {-p}}$ z wynikami ${\ displaystyle \ textstyle p> 1}$ w skończonej liczbie błędów typu I i typu II wp1 w dość łagodnych warunkach regularności. Oznacza to, że dla każdego istnieje $\ textstyle N (t)}$ ${\ Displaystyle$ , takie, że dla wszystkich $\ Displaystyle \ textstyle n> N (t)}$ ,

{\ Displaystyle \ lewo [t \ w \ lewo [{\ widehat {\ mu}} - {\ Frac {Z_ { \alpha _{n}}}{\sqrt {n}}},+\infty \right]\right]=\Pr(\mu \leq t)}

gdzie równość zachodzi wp 1. Tak więc funkcja wskaźnika jednostronnego przedziału ufności jest dobrym przybliżeniem prawdziwej funkcji rozkładu.

Aplikacje

Opcjonalne zatrzymanie

Załóżmy na przykład, że badacz przeprowadził eksperyment na próbie o wielkości 10 i nie znalazł statystycznie istotnego wyniku. Następnie załóżmy, że postanowiła dodać jeszcze jedną obserwację i ponownie przetestować ten proces, aż do uzyskania znaczącego wyniku. $,$ że eksperyment zostanie zatrzymany przy jakiejś skończonej wielkości próby, ograniczyć za pomocą nierówności Boole'a

{\ Displaystyle \ Pr (N_ {s}<+ \ infty) <\ suma _ {n = 11} ^ {+ \ infty} \ alfa _{n}<0.0952}

gdzie ${\ Displaystyle \ alfa _ {n} = n ^ {- 2}}$ . Wypada to korzystnie w porównaniu z testowaniem na ustalonym poziomie istotności, które ma skończony czas zatrzymania z prawdopodobieństwem jeden; jednak ta granica nie będzie miała znaczenia dla wszystkich sekwencji o poziomie istotności, ponieważ powyższa suma może być większa niż jeden (ustawienie byłoby $displaystyle \ alpha _ {n} = n ^ {-1,2}}$ \ być jednym z przykładów). Ale nawet przy tej przepustowości, jeśli testy przeprowadzono w partiach po 10, to

{\ Displaystyle \ Pr \ lewo (N_ {s}< + \ infty \ prawo) <\ suma \ limity _ {i = 2}^{\infty }\left(10i\right)^{-1.2}<0.3}

co skutkuje stosunkowo dużym prawdopodobieństwem, że proces ten nigdy się nie zakończy.

Stronniczość publikacji

Jako kolejny przykład siły tego podejścia, jeśli czasopismo akademickie akceptuje tylko artykuły z wartościami p mniejszymi niż 0,05, to mniej więcej 1 na 20 niezależnych badań o tym samym efekcie znalazłoby znaczący wynik, gdy go nie było. Jeśli $,$ a maksymalny poziom istotności jest określony wzorem to można by się spodziewać mniej w 250 badaniach znalazłoby efekt, gdy go nie było (jeśli minimalna wielkość próby wynosiła 30, nadal wynosiłaby 1 na 60). Jeśli maksymalny poziom istotności został podany przez $( co$ dla małych próbek w odniesieniu do błędu typu I, obaw), można by oczekiwać, że mniej więcej 1 na 10000 badań przyniesie efekt, gdy go nie będzie (jeśli minimalna wielkość próby wynosiłaby 30, byłby to 1 na 900). Ponadto testowanie hipotez AS jest odporne na wielokrotne porównania.

Paradoks Jeffreysa-Lindleya

Paradoks Lindleya występuje, gdy

Wynik jest „znaczący” w teście częstości, na przykład na poziomie 5%, co wskazuje na wystarczające dowody, aby odrzucić hipotezę zerową, oraz
Późniejsze prawdopodobieństwo hipotezy zerowej jest wysokie, co wskazuje na mocne dowody na to, że hipoteza zerowa jest lepiej zgodna z danymi niż hipoteza alternatywna.

Paradoks ten nie dotyczy jednak testów hipotez. Badacz bayesowski i bywalca ostatecznie dojdą do tego samego wniosku.

Zobacz też

Naaman, Michael (2016). „Prawie pewne testowanie hipotez i rozwiązanie paradoksu Jeffreysa – Lindleya”. Elektroniczny Dziennik Statystyczny . 10 (1): 1526–1550.
Dembo, Amir; Peres, Yuval (1994). „Topologiczne kryterium testowania hipotez”. Roczniki statystyki . 22 (1): 106–117.