Prawo Faxéna

W dynamice płynów prawa Faxéna wiążą prędkość kuli i prędkość kątową z $U}}$ , momentem obrotowym, naprężeniami i przepływem, których doświadcza przy niskiej liczbie Reynoldsa $( U {$ \ Displaystyle \ mathbf przepływ pełzający).

Pierwsze prawo

Pierwsze prawo Faxena zostało wprowadzone w 1922 roku przez szwedzkiego fizyka Hildinga Faxéna , który w tym czasie był aktywny na Uniwersytecie w Uppsali .

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = 6 \ pi \ mu a \ lewo [\ lewo (1+ {\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\right)\mathbf {u} '-(\mathbf {U} -\mathbf {u} ^{\infty})\right ],}$

Gdzie

• $jest$ siłą wywieraną przez płyn na
• $newtonowską$ rozpuszczalnika, w którym umieszczona jest
• ${\ displaystyle a}$ to promień kuli
• $kuli$ (translacyjną) prędkością
• ${\ Displaystyle \ mathbf {u} '}$ to prędkość zakłócenia spowodowana przez inne kule w zawieszeniu (nie przez przepływ pod wrażeniem tła), oszacowana w środku kuli
• ${\ Displaystyle \ mathbf {u} ^ {\ infty}}$ to przepływ pod wrażeniem tła, oceniany w środku kuli (w niektórych odniesieniach ustawiony na zero).

Można to również zapisać w formie

${\ Displaystyle \ mathbf {U} - \ mathbf {u} ^ {\ infty} = \ mathbf {u} '+ b_ {0} \mathbf {F} +{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\mathbf {u} ',}$

gdzie ${\ Displaystyle b_ {0} = - {\ Frac {1} {6 \ pi \ mu a}}}$ jest ruchliwością hydrodynamiczną.

W przypadku, gdy gradient ciśnienia jest mały w porównaniu ze skalą długości średnicy kuli i gdy nie ma siły zewnętrznej, dwa ostatnie wyrazy tej postaci można pominąć. W tym przypadku zewnętrzny przepływ płynu po prostu adwektuje kulę.

Drugie prawo

Drugie prawo Faxena jest podane przez

${\ Displaystyle \ mathbf {T} = 8 \ pi \ mu a ^ {3} \ lewo [{\ Frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {\nabla}}\times \mathbf {u} '\right)-(\mathbf {\Omega} -\mathbf {\Omega} ^{\infty}) \Prawidłowy],}$

Gdzie

• $jest momentem obrotowym wywieranym$ płyn na kulę
• jest prędkością kątową kuli ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Omega}}$
• ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Omega} ^ {\ infty}}$ to prędkość kątowa przepływu tła, oceniana w środku kuli (w niektórych odniesieniach ustawiona na zero).

„trzecie prawo”

Batchelor i Green wyprowadzili równanie stresu, podane przez

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {S}} }={\frac {10}{3}}\pi \mu a^{3}\left[2{\boldsymbol {\mathsf {E}}}^{\infty}+\left(1+{\frac {1}{10}}a^{2}\nabla ^{2}\right)\left({\boldsymbol {\nabla}}\mathbf {u} '+({\boldsymbol {\nabla}}\mathbf {u} ')^{\mathrm {T}}\right)\right],}$

Gdzie

• to stres (symetryczna część pierwszego momentu siły) wywierany przez płyn na kulę, ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {S}}}}$
• ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u} '}$ jest tensorem gradientu prędkości; ${\ Displaystyle {} ^ {\ operatorname {T}}}$ reprezentuje transpozycję; i tak ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ lewo [{\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u} '+ ({\ boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ')^{\mathrm {T} }\right]}$ to tensor szybkości odkształcenia lub deformacji.
• ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ mathsf {E}}} ^ {\ infty} = {\ Frac {1} {2}} \ lewo [ {\boldsymbol {\nabla}}\mathbf {u} ^{\infty}+({\boldsymbol {\nabla}}\mathbf {u} ^{\infty})^{\mathrm {T}}\right] }$ to szybkość odkształcenia przepływu tła, oceniana w środku kuli (ustawiona na zero w niektórych odniesieniach).

Zauważ, że nie ma współczynnika odkształcenia kuli (nie ma $,$ ponieważ zakłada się, że kule są sztywne.

Prawo Faxéna jest poprawką do prawa Stokesa dotyczącego tarcia o kuliste przedmioty w lepkim płynie , ważne, gdy obiekt porusza się blisko ściany pojemnika.

Zobacz też

• Metoda zanurzonych brzegów

Notatki

• Faxén, H. (1922), "Der Widerstand gegen die Bewegung einer starren Kugel in einer zähen Flüssigkeit, die zwischen zwei parallelen ebenen Wänden eingeschlossen ist" , Annalen der Physik , 373 (10): 89–119, Bibcode : 1922AnP.. .373...89F , doi : 10.1002/andp.19223731003
• Happel, J.; Brenner, H. (1991), Low Reynolds Number Hydrodynamics , Dordrecht: Kluwer