Problem Lemoine'a
W matematyce problem Lemoine'a jest pewnym problemem konstrukcyjnym w elementarnej geometrii płaszczyzny , postawionym przez francuskiego matematyka Émile'a Lemoine'a (1840–1912) w 1868 r. Problem został opublikowany jako pytanie 864 w Nouvelles Annales de Mathématiques (seria 2, tom 7 (1868) , s. 191). Głównym zainteresowaniem problemem jest to, że omówienie rozwiązania problemu przez Ludwiga Kieperta opublikowane w Nouvelles Annales de Mathématiques (seria 2, tom 8 (1869), s. 40–42) zawierał opis hiperboli, znanej obecnie jako hiperbola Kieperta.
Oświadczenie o problemie
Pytanie opublikowane przez Lemoine'a stawia następujący problem konstrukcyjny:
- Biorąc pod uwagę jeden wierzchołek każdego z trójkątów równobocznych umieszczonych na bokach trójkąta , skonstruuj oryginalny trójkąt.
Rozwiązanie Ludwiga Kieperta
Kiepert potwierdza słuszność swojej konstrukcji, udowadniając kilka lematów .
- Zadanie
- Niech A 1 , B 1 , C 1 będą wierzchołkami trójkątów równobocznych leżących na bokach trójkąta ABC . Biorąc pod uwagę A 1 , B 1 , C 1 konstrukcja A , B , C .
- Lemat 1
- Jeśli na trzech bokach dowolnego trójkąta ABC opisuje się trójkąty równoboczne ABC 1 , ACB 1 , BCA 1 , to odcinki AA 1 , BB 1 , C C 1 są równe, przecinają się w punkcie P , a kąty, które tworzą między sobą, są równe 60°.
- Lemat 2
- Jeśli na A 1 B 1 C 1 wykona się taką samą konstrukcję jak na ABC , to będą trzy trójkąty równoboczne A 1 B 1 C 2 , A 1 C 1 B 2 , B 1 C 1 A 2 , trzy równe odcinki A 1 A 2 , B 1 B 2 , C 1 C 2 , które również zbiegną się w punkcie P .
- Lemat 3
- A , B , C są odpowiednio środkami A 1 A 2 , b 1 b 2 , do 1 do 2 .
-
Rozwiązanie
- Na odcinkach A 1 B 1 , A 1 C 1 , B 1 C 1 opisz odpowiednio trójkąty równoboczne A 1 B 1 C 2 , A 1 C 1 B 2 , B 1 C 1 A 2 .
- Punkty środkowe A 1 A 2 , B 1 B 2 , C 1 C 2 są odpowiednio wierzchołkami A , B , C wymaganego trójkąta.
Inne rozwiązania
Kilka innych osób oprócz Kieperta przedstawiło swoje rozwiązania w latach 1868–189, w tym panowie Williere (w Arlon), Brocard, Claverie (Lycee de Clermont), Joffre (Lycee Charlemagne), Racine (Lycee de Poitiers), Augier (Lycee de Caen ), V. Niebyłowski i L. Henri Lorrez. Rozwiązanie Kieperta było bardziej kompletne niż inne.