Problem deski Tarskiego

W matematyce problem deski Tarskiego jest pytaniem o pokrycie obszarów wypukłych w n -wymiarowej przestrzeni euklidesowej przez „deski”: obszary między dwiema hiperpłaszczyznami . Tarski zapytał, czy suma szerokości desek musi być co najmniej minimalną szerokością obszaru wypukłego. Na to pytanie twierdząco odpowiedział Thøger Bang ( 1950 , 1951 ).

Oświadczenie

Biorąc pod uwagę ciało wypukłe C w R ⁿ i hiperpłaszczyznę H , szerokość C równoległa do H , w ( C , H ) jest odległością między dwiema wspierającymi hiperpłaszczyznami C , które są równoległe do H . Najmniejsza taka odległość (tj. infimum po wszystkich możliwych hiperpłaszczyznach) nazywana jest minimalną szerokością C , w ( C ).

(Zamknięty) zbiór punktów P między dwiema odrębnymi, równoległymi hiperpłaszczyznami w R ⁿ nazywamy deską, a odległość między dwiema hiperpłaszczyznami nazywamy szerokością deski, w ( P ). Tarski wysunął przypuszczenie, że jeśli bryła wypukła C o minimalnej szerokości w ( C ) jest pokryta zbiorem desek, to suma szerokości tych desek musi wynosić co najmniej w ( C ). To znaczy, jeśli P ₁ ,…, P _m są takie deski

${\ Displaystyle C \ subseteq P_ {1} \ kubek \ ldots \ kubek P_ {m} \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {n},}$

Następnie

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {m} w (P_ {i}) \ geq w (C).}$

Bang udowodnił, że tak właśnie jest.

Nomenklatura

Nazwa problemu, konkretnie dla zbiorów punktów między równoległymi hiperpłaszczyznami, pochodzi od wizualizacji problemu w R ² . Tutaj hiperpłaszczyzny są po prostu liniami prostymi, więc deski stają się przestrzenią między dwiema równoległymi liniami. Tak więc deski można traktować jako (nieskończenie długie) drewniane deski i powstaje pytanie, ile desek potrzeba, aby całkowicie pokryć wypukły blat stołu o minimalnej szerokości w ? Twierdzenie Banga pokazuje, że na przykład okrągły stół o średnicy d stopy nie mogą być pokryte mniej niż d desek o szerokości jednej stopy każda.

•   Bang, Thøger (1950), „O pokryciu równoległymi paskami”. Mat. Tidsskr. B. : 49–53, MR 0038085
•    Bang, Thøger (1951), „Rozwiązanie problemu deski ” , Proc. Amer. Matematyka soc. , 2 (6): 990–993, doi : 10.2307/2031721 , JSTOR 2031721 , MR 0046672